La teoría de objetos es una teoría en lógica matemática relativa a los objetos y las afirmaciones que se pueden hacer sobre los objetos.
En algunos casos, los "objetos" se pueden considerar concretamente como símbolos y cadenas de símbolos, aquí ilustrados por una cadena de cuatro símbolos "← COLOR ↑ ↓ ← → ← ↓" como compuestos del alfabeto de 4 símbolos {←, ↑, → , ↓}. Cuando son "conocidos sólo a través de las relaciones del sistema [en el que aparecen], se [dice que el sistema es] abstracto ... lo que son los objetos, en cualquier aspecto que no sea cómo encajan en la estructura, se deja sin especificar ". (Kleene 1952: 25) Una especificación adicional de los objetos da como resultado un modelo o representación del sistema abstracto, "es decir, un sistema de objetos que satisfacen las relaciones del sistema abstracto y también tienen algún estatus adicional" (ibid).
Un sistema, en su sentido general, es una colección de objetos O = {o 1 , o 2 , ... o n , ...} y (una especificación de) la relación r o relaciones r 1 , r 2 ,. .. r n entre los objetos.
- Ejemplo: Dado un sistema simple = {{←, ↑, →, ↓}, ∫ } para una relación muy simple entre los objetos como se indica con el símbolo ∫ : [1]
- ∫ → => ↑, ∫ ↑ => ←, ∫ ← => ↓, ∫ ↓ => →
Un modelo de este sistema ocurriría cuando asignamos, por ejemplo, los números naturales familiares {0, 1, 2, 3}, a los símbolos {←, ↑, →, ↓}, es decir, de esta manera: → = 0, ↑ = 1, ← = 2, ↓ = 3. Aquí, el símbolo ∫ indica la "función sucesora" (a menudo escrito como un apóstrofe 'para distinguirlo de +) que opera en una colección de solo 4 objetos, por lo tanto 0' = 1, 1 '= 2, 2' = 3, 3 '= 0.
- O, podríamos especificar que ∫ representa rotaciones de 90 grados en sentido antihorario de un objeto simple →.
El método genético versus axiomático
El siguiente es un ejemplo del método genético o constructivo de hacer objetos en un sistema, el otro es el método axiomático o postulacional . Kleene afirma que un método genético está destinado a "generar" todos los objetos del sistema y, por lo tanto, "determinar la estructura abstracta del sistema de forma completa" y única (y así definir el sistema categóricamente ). Si se utilizan axiomas en lugar de un método genético, se dice que tales conjuntos de axiomas son categóricos . [2]
A diferencia del ejemplo ∫ anterior, lo siguiente crea un número ilimitado de objetos. El hecho de que O es un conjunto y □ es un elemento de O, y ■ es una operación, debe especificarse desde el principio; esto se está haciendo en el lenguaje de la metateoría (ver más abajo):
- Dado el sistema (O, □, ■): O = {□, ■ □, ■■ □, ■■■ □, ■■■■ □, ■■■■■ □, ..., ■ n □, etc. .}
Abreviaturas
El objeto ■ n □ demuestra el uso de "abreviatura", una forma de simplificar la denotación de objetos y, en consecuencia, las discusiones sobre ellos, una vez que han sido creados "oficialmente". Si se hace correctamente, la definición procedería de la siguiente manera:
- ■ □ ≡ ■ 1 □, ■■ □ ≡ ■ 2 □, ■■■ □ ≡ ■ 3 □, etc., donde se presupone que las nociones de ≡ ("definido como") y "número" se entienden intuitivamente en la metateoría .
Kurt Gödel 1931 construyó virtualmente la prueba completa de sus teoremas de incompletitud (en realidad demostró el Teorema IV y bosquejó una prueba del Teorema XI) mediante el uso de esta táctica, partiendo de sus axiomas usando sustitución, concatenación y deducción de modus ponens para producir una colección de 45 "definiciones" (derivaciones o teoremas con mayor precisión) de los axiomas.
Una táctica más familiar es quizás el diseño de subrutinas que reciben nombres, por ejemplo, en Excel la subrutina "= INT (A1)" que devuelve a la celda donde está escrito (por ejemplo, celda B1) el número entero que encuentra en la celda A1.
Modelos
Un modelo del ejemplo anterior es una cinta de máquina Post-Turing de extremo izquierdo con su "cabeza" fija ubicada en el cuadrado del extremo izquierdo; la relación del sistema es equivalente a: "En el extremo izquierdo, tache un nuevo cuadrado □, mueva la cinta hacia la derecha, luego imprima ■ en el nuevo cuadrado". Otro modelo son los números naturales creados por la función "sucesor". Porque los objetos en los dos sistemas, por ejemplo (□, ■ □, ■■ □, ■■■ □ ...) y (0, 0 ′, 0 ′ ′, 0 ′ ′ ′, ...) se pueden poner en una correspondencia 1-1, se dice que los sistemas son (simplemente) isomorfos (que significa "la misma forma"). Otro modelo isomórfico más es la pequeña secuencia de instrucciones para una máquina contador, por ejemplo, "Haga lo siguiente en secuencia: (1) Cava un hoyo. (2) En el hoyo, lanza una piedra. (3) Vaya al paso 2."
Siempre que sus objetos se puedan colocar en correspondencia uno a uno ("mientras se preservan las relaciones"), los modelos pueden considerarse "equivalentes" sin importar cómo se generen sus objetos (por ejemplo, genéticamente o axiomáticamente):
- "Dos sistemas simplemente isomorfos cualesquiera constituyen representaciones [modelos] del mismo sistema abstracto, que se obtiene abstrayendo de cualquiera de ellos, es decir, dejando fuera de cuenta todas las relaciones y propiedades excepto las que deben considerarse para el sistema abstracto". (Kleene 1935: 25)
Supuestos tácitos, conocimiento tácito
Un lector alerta puede haber notado que escribir símbolos □, ■ □, ■■ □, ■■■ □, etc. mediante la concatenación de un cuadrado marcado, es decir, ■ a una cadena existente es diferente a escribir los símbolos completados uno tras otro en un Cinta de máquina de Turing. Otro escenario completamente posible sería generar las cadenas de símbolos una tras otra en diferentes secciones de la cinta, por ejemplo, después de tres símbolos: ■■■ □ ■■ □ ■ □□. La prueba de que estas dos posibilidades son diferentes es fácil: requieren "programas" diferentes. Pero, en cierto sentido, ambas versiones crean los mismos objetos; en el segundo caso, los objetos se conservan en la cinta. De la misma manera, si una persona escribiera 0, luego lo borra, escribe 1 en el mismo lugar, luego lo borra, escribe 2, lo borra, ad infinitum, la persona está generando los mismos objetos que si estuviera escribiendo 0 1 2 3 ... escribiendo un símbolo tras otro a la derecha en el papel.
Una vez que se ha dado el paso de anotar los símbolos 3 2 1 0 uno tras otro en una hoja de papel (escribiendo el nuevo símbolo a la izquierda esta vez), o escribiendo ∫∫∫ ※ ∫∫ ※ ∫ ※※ de forma similar manera, entonces ponerlos en correspondencia 1-1 con los símbolos de la cinta de Turing parece obvio. Cavando hoyos uno tras otro, comenzando con un hoyo en "el origen", luego un hoyo a su izquierda con un guijarro adentro, luego un hoyo a su izquierda con dos guijarros adentro, ad infinitum, plantea preguntas prácticas, pero en en resumen, también se puede considerar que conduce a la misma correspondencia 1-1.
Sin embargo, nada en particular en la definición de métodos genéticos versus axiomáticos aclara esto; estos son temas que se discutirán en la metateoría. El matemático o científico debe ser considerado responsable de especificaciones descuidadas. Breger advierte que los métodos axiomáticos son susceptibles de conocimiento tácito, en particular, del tipo que involucra el "saber hacer de un ser humano" (Breger 2000: 227).
Un sistema formal
En general, en matemáticas un sistema formal o "teoría formal" consta de "objetos" en una estructura:
- Los símbolos a concatenar (adjuntar),
- Las reglas de formación (completamente especificadas, es decir, reglas formales de sintaxis ) que dictan cómo los símbolos y los conjuntos de símbolos deben formarse en conjuntos (por ejemplo, secuencias) de símbolos (llamados términos, fórmulas, oraciones, proposiciones, teoremas, etc. ) para que estén en patrones "bien formados" (p. ej., ¿se puede concatenar un símbolo solo en su extremo izquierdo, solo en su extremo derecho o en ambos extremos simultáneamente? ¿Se puede sustituir (poner en lugar de) una colección de símbolos? uno o más símbolos que pueden aparecer en cualquier parte de la cadena de símbolos de destino?),
- "Proposiciones" bien formadas (llamadas "teoremas" o afirmaciones u oraciones) ensambladas según las reglas de formación,
- Algunos axiomas que se establecen al principio y pueden incluir "nociones indefinibles" (ejemplos: "conjunto", "elemento", "pertenencia" en la teoría de conjuntos; "0" y "'" (sucesor) en la teoría de números),
- Al menos una regla de inferencia deductiva (por ejemplo, modus ponens ) que permite pasar de uno o más de los axiomas y / o proposiciones a otra proposición.
Teoría informal, teoría de objetos y metateoría
Existe una metateoría fuera de la teoría formalizada del objeto: los símbolos y relaciones sin sentido y las cadenas (bien formadas) de símbolos. La metateoría comenta (describe, interpreta, ilustra) estos objetos sin sentido utilizando nociones "intuitivas" y "lenguaje ordinario". Al igual que la teoría del objeto, la metateoría debe ser disciplinada, quizás incluso cuasi formal en sí misma, pero en general las interpretaciones de los objetos y las reglas son más intuitivas que formales. Kleene requiere que los métodos de una metateoría (al menos para los propósitos de la metamatemática ) sean finitos, concebibles y ejecutables; estos métodos no pueden apelar al infinito completo . "Las pruebas de existencia darán, al menos implícitamente, un método para construir el objeto cuya existencia se está demostrando". [3] (pág. 64)
Kleene resume esto de la siguiente manera: "En el panorama completo habrá tres" teorías "separadas y distintas"
- "(a) la teoría informal de la cual el sistema formal constituye una formalización
- "(b) el sistema formal o la teoría del objeto , y
- "(c) la metateoría, en la que se describe y estudia el sistema formal" (p. 65)
Continúa diciendo que la teoría de objetos (b) no es una "teoría" en el sentido convencional, sino que es "un sistema de símbolos y de objetos construidos a partir de símbolos (descritos en (c))".
Expansión de la noción de sistema formal
Objetos bien formados
Si una colección de objetos (símbolos y secuencias de símbolos) se considera "bien formada", debe existir un algoritmo para determinar, deteniéndose con una respuesta "sí" o "no", si el objeto está bien o no. formado (en matemáticas, wff abrevia fórmula bien formada ). Este algoritmo, en el extremo, podría requerir (o ser) una máquina de Turing o una máquina equivalente a Turing que " analiza " la cadena de símbolos tal como se presenta como "datos" en su cinta; Antes de que una máquina de Turing universal pueda ejecutar una instrucción en su cinta, debe analizar los símbolos para determinar la naturaleza exacta de la instrucción y / o el dato codificado allí. En casos más simples, una máquina de estados finitos o un autómata pushdown pueden hacer el trabajo. Enderton describe el uso de "árboles" para determinar si una fórmula lógica (en particular, una cadena de símbolos entre paréntesis) está bien formada. [4] Alonzo Church 1934 [5] describe la construcción de "fórmulas" (nuevamente: secuencias de símbolos) como está escrito en su cálculo λ mediante el uso de una descripción recursiva de cómo comenzar una fórmula y luego construir sobre el símbolo inicial usando concatenación y sustitución.
Ejemplo: Church especificó su cálculo λ de la siguiente manera (la siguiente es una versión simplificada que omite las nociones de variable libre y límite). Este ejemplo muestra cómo una teoría de objetos comienza con una especificación de un sistema de objetos de símbolos y relaciones (en particular mediante el uso de la concatenación de símbolos):
- (1) Declare los símbolos: { , } , ( , ) , λ , [ , ] más un número infinito de variables a , b , c , ..., x , ...
- (2) Definir fórmula : una secuencia de símbolos
- (3) Defina la noción de "fórmula bien formada" (wff) comenzando de forma recursiva con la "base" (3.i):
- (3.1) (base) Una variable x es una wff
- (3.2) Si F y X son wff, entonces {F} (X) es un wff; si x aparece en F o X , se dice que es una variable en {F} (X) .
- (3.3) Si M está bien formado y x aparece en M, entonces λx [M] es un wff.
- (4) Defina varias abreviaturas:
- {F} [X] se abrevia como F (X) si F es un solo símbolo
- se abrevia como {F} (X, Y) o F (X, Y) si F es un solo símbolo
- λx 1 λx 2 [... λx n [M] ...] se abrevia como λx 1 x 2 ... x n • M
- λab • a (b) se abrevia como 1
- λab • a (a (b)) se abrevia como 2 , etc.
- (5) Definir la noción de "sustitución" de la fórmula N por la variable x en M [6] (Church 1936)
Objetos no definidos (primitivos)
Ciertos objetos pueden ser "indefinidos" o "primitivos" y recibir definición (en términos de sus comportamientos) mediante la introducción de los axiomas .
En el siguiente ejemplo, los símbolos indefinidos serán {※, ↀ , ∫ }. Los axiomas describirán sus comportamientos .
Axiomas
Kleene observa que los axiomas se componen de dos conjuntos de símbolos: (i) los objetos indefinidos o primitivos y los que se conocen previamente. En el siguiente ejemplo, se sabe previamente en el siguiente sistema (O, ※, ↀ , ∫ ) que O constituye un conjunto de objetos (el "dominio"), ※ es un objeto en el dominio, ↀ y ∫ son símbolos de relaciones entre los objetos, => indica el operador lógico "SI ENTONCES", ε es el símbolo que indica "es un elemento del conjunto O", y "n" se utilizará para indicar un elemento arbitrario de un conjunto de objetos O.
Después de (i) una definición de "cadena S " —un objeto que es un símbolo ※ o símbolos concatenados ※, ↀ o ∫, y (ii) una definición de cadenas "bien formadas" - (base) ※ y ↀ S , ∫ S donde S es cualquier cadena, vienen los axiomas:
- ↀ ※ => ※, en palabras: "SI ↀ se aplica al objeto ※ ENTONCES el objeto ※ resulta".
- ∫n ε O, en palabras "SI ∫ se aplica al objeto arbitrario" n "en O ENTONCES este objeto ∫n es un elemento de O".
- ↀn ε O, "SI ↀ se aplica al objeto arbitrario" n "en O ENTONCES este objeto ↀn es un elemento de O".
- ↀ∫n => n, "SI ↀ se aplica al objeto ∫n ENTONCES el objeto n resulta".
- ∫ↀn => n, "SI ∫ se aplica al objeto ↀn ENTONCES el objeto n resulta".
Entonces, ¿cuál podría ser la interpretación (prevista) [7] de estos símbolos, definiciones y axiomas?
Si definimos ※ como "0", ∫ como "sucesor" y ↀ como "predecesor", entonces ↀ ※ => ※ indica "resta adecuada" (a veces designado por el símbolo ∸, donde "predecesor" resta una unidad de un número , entonces 0 ∸1 = 0). La cadena "ↀ∫n => n" indica que si primero se aplica el sucesor a un objeto arbitrario n y luego se aplica el predecesor ↀ a ∫n, se obtiene el n original ".
¿Es este conjunto de axiomas "adecuado"? La respuesta adecuada sería una pregunta: "¿Adecuado para describir qué, en particular?" "Los axiomas determinan a qué sistemas, definidos desde fuera de la teoría, se aplica la teoría". (Kleene 1952: 27). En otras palabras, los axiomas pueden ser suficientes para un sistema pero no para otro.
De hecho, es fácil ver que este conjunto de axiomas no es muy bueno; de hecho, es inconsistente (es decir, produce resultados inconsistentes, sin importar cuál sea su interpretación):
- Ejemplo: Defina ※ como 0, ∫ ※ como 1 y ↀ1 = 0. Desde el primer axioma, ↀ ※ = 0, entonces ∫ↀ ※ = ∫0 = 1. Pero el último axioma especifica que para cualquier n arbitrario incluyendo ※ = 0, ∫ↀn => n, por lo que este axioma estipula que ∫ↀ0 => 0, no 1.
Observe también que el conjunto de axiomas no especifica que ∫n ≠ n. O, exceptuando el caso n = ※, ↀn ≠ n. Si tuviéramos que incluir estos dos axiomas, necesitaríamos describir las nociones intuitivas "iguales" simbolizadas por = y no iguales simbolizadas por ≠.
Ver también
Notas
- ^ De manera abstracta, la relación ∫ está definida por la colección de pares ordenados {(→, ↑), (↑, ←), (←, ↓), (↓, →)}
- ↑ Kleene, 1952: 26. Esta distinción entre los métodos constructivo y axiomático, y las palabras utilizadas para describirlos, son de Kleene según su referencia a Hilbert 1900.
- ^ Este es unrequisito intuicionista : Prohíbe formalmente el uso de la ley del medio excluido sobre infinitas colecciones (conjuntos) de objetos.
- ^ Enderton 2002: 30
- ↑ Church 1934 reimpreso en Davis 1965: 88ff
- ^ La sustitución se complica y requiere más información (por ejemplo, definiciones de variables "libres" y "limitadas" y tres variedades de sustitución) de la que se ha proporcionado en este breve ejemplo.
- ↑ Kleene define la interpretación pretendida como "los significados que se pretenden adjuntar a los símbolos, fórmulas, etc. de un sistema formal dado, en consideración del sistema como una formalización de una teoría informal ... (p. 64) )
Referencias
- Herbert Breger 2000, Conocimiento tácito y progreso matemático , en E. Groshoz y H. Breger (eds.) 2000, El crecimiento del conocimiento matemático , 221-230. Editores académicos de Kluwer. Dordrecht, Holanda. ISBN 0-7923-6151-2
- Alonzo Church 1936 An Unsolvable Problem of Elementary Number Theory , reimpreso en Martin Davis 1965, The Undecidable , Raven Press, NY. Sin ISBN.
- Herbert B. Enderton 2001, Una introducción matemática a la lógica: Segunda edición , Harcort Academic Press, Burlington MA. ISBN 978-0-12-238452-3 .
- Stephen C. Kleene 1952, sexta reimpresión 1971, décima impresión 1991, Introducción a las metamatemáticas , North-Holland Publishing Company, Amsterdam NY, ISBN 0-7204-2103-9 .