Las funciones de onda esferoidales alargadas son funciones propias del Laplaciano en coordenadas esferoidales alargadas, adaptadas a las condiciones de contorno en ciertos elipsoides de revolución (una elipse rotada alrededor de su eje largo, "forma de cigarro"). Se relacionan las funciones de onda esferoidales oblatas (elipsoide en "forma de panqueque"). [1]
Soluciones a la ecuación de onda
Resuelva la ecuación de Helmholtz ,, por el método de separación de variables en coordenadas esferoidales prolongadas ,, con:
y , , y . Aquí,es la distancia interfocal de la sección transversal elíptica del esferoide alargado. Configuración, la solución puede escribirse como el producto de , una función de onda esferoidal radial y una función de onda esferoidal angular .
La función de onda radial satisface la ecuación diferencial ordinaria lineal :
La función de onda angular satisface la ecuación diferencial:
Es la misma ecuación diferencial que en el caso de la función de onda radial. Sin embargo, el rango de la variable es diferente: en la función de onda radial,, mientras que en la función de onda angular, . El valor propiode este problema de Sturm-Liouville se soluciona mediante el requisito de que debe ser finito para .
Para ambas ecuaciones diferenciales se reducen a las ecuaciones satisfechas por los polinomios de Legendre asociados . Para, las funciones de onda esferoidal angular se pueden ampliar como una serie de funciones de Legendre.
Si uno escribe , la función satisface:
que se conoce como la ecuación de onda esferoidal . Stratton ha utilizado esta ecuación auxiliar. [2]
Señales de banda limitada
En el procesamiento de señales, las funciones de onda esferoidales alargadas (PSWF) son útiles como funciones propias de una operación de limitación de tiempo seguida de un filtro de paso bajo. Dejar denotar el operador de truncamiento de tiempo, tal que si y solo si tiene soporte en . Del mismo modo, dejemos denotar un operador de filtrado de paso bajo ideal, tal que si y solo si su transformada de Fourier se limita a. El operadorresulta ser lineal, acotada y autoadjunta . Para denotamos con la -ésima función propia , definida como
dónde son los valores propios asociados, y es una constante. Las funciones de banda limitada son las funciones de onda esferoidales alargadas, proporcionales a la presentado anteriormente. [3] (Ver también Problema de concentración espectral ).
El trabajo pionero en esta área fue realizado por Slepian y Pollak, [4] Landau y Pollak, [5] [6] y Slepian. [7] [8]
Las funciones de onda esferoidales proladas cuyo dominio es una (parte de) la superficie de la esfera unitaria se denominan más generalmente "funciones de Slepian". [9] Estos son de gran utilidad en disciplinas como la geodesia [10] o la cosmología. [11]
Información técnica e historia
Existen diferentes esquemas de normalización para funciones esferoidales. Se puede encontrar una tabla de los diferentes esquemas en Abramowitz y Stegun [12] que siguen la notación de Flammer. [13] La Biblioteca Digital de Funciones Matemáticas proporcionada por NIST es un recurso excelente para funciones de onda esferoidales.
Las tablas de valores numéricos de las funciones de onda esferoidales se dan en Flammer, [13] Hunter, [14] [15] Hanish et al., [16] [17] [18] y Van Buren et al. [19]
Originalmente, las funciones de onda esferoidales fueron introducidas por C. Niven, [20] que conducen a una ecuación de Helmholtz en coordenadas esferoidales. Strutt, [21] Stratton et al., [22] Meixner y Schafke, [23] y Flammer escribieron monografías que unían muchos aspectos de la teoría de las funciones de onda esferoidales . [13]
Flammer [13] proporcionó una discusión exhaustiva del cálculo de los valores propios, funciones de onda angulares y funciones de onda radiales tanto para el caso alargado como para el oblato. Muchos programas de computadora para este propósito han sido desarrollados por muchos, incluyendo King et al., [24] Patz y Van Buren, [25] Baier et al., [26] Zhang y Jin, [27] Thompson [28] y Falloon. [29] Van Buren y Boisvert [30] [31] han desarrollado recientemente nuevos métodos para calcular funciones de ondas esferoidales prolongadas que extienden la capacidad de obtener valores numéricos a rangos de parámetros extremadamente amplios. El código fuente de Fortran que combina los nuevos resultados con los métodos tradicionales está disponible en http://www.mathieuandspheroidalwavefunctions.com .
Expansiones asintóticas de funciones de onda esferoidales alargadas angulares para grandes valores de han sido derivados por Müller. [32] También investigó la relación entre las expansiones asintóticas de las funciones de ondas esferoidales. [33] [34]
Referencias
- ^ FM Arscott, Ecuaciones diferenciales periódicas , Pergamon Press (1964).
- ^ JA Stratton Funciones esferoidales Actas de la Academia Nacional de Ciencias (Estados Unidos) 21 (1935) 51.
- ^ " Funciones de onda esferoidal 30.15 - análisis de señal " . Biblioteca digital de funciones matemáticas . NIST . Consultado el 20 de mayo de 2021 .
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- ^ HJW Müller, Asymptotische Entwicklungen von Sphäroidfunktionen und ihre Verwandtschaft mit Kugelfunktionen , Z. angew. Matemáticas. Mech. 44 (1964) 371-374.
- ^ HJW Müller, Über asymptotische Entwicklungen von Sphäroidfunktionen , Z. angew. Matemáticas. Mech. 45 (1965) 29-36.
enlaces externos
- Funciones de onda esferoidal de MathWorld
- Función de onda esferoidal prolada de MathWorld
- Función de onda esferoidal oblata de MathWorld