Las coordenadas esferoidales oblatas son un sistema de coordenadas ortogonales tridimensionales que resulta de la rotación del sistema de coordenadas elípticas bidimensionales alrededor del eje no focal de la elipse, es decir, el eje de simetría que separa los focos. Así, los dos focos se transforman en un anillo de radioen el plano x - y . (La rotación sobre el otro eje produce coordenadas esferoidales alargadas .) Las coordenadas esferoidales oblatas también pueden considerarse como un caso límite de coordenadas elipsoidales en las que los dos semiejes más grandes tienen la misma longitud.
Figura 1: Isosuperficies coordinadas para un punto
P (mostrado como una esfera negra) en coordenadas esferoidales achatadas (
μ ,
ν ,
φ ). El eje
z es vertical y los focos están en ± 2. El esferoide achatado rojo (esfera aplanada) corresponde a
μ = 1, mientras que el medio hiperboloide azul corresponde a
ν = 45 °. El azimut
φ = -60 ° medidas el
ángulo diedro entre el verde
x -
z semiplano y el semiplano amarillo que incluye el punto
P . Las
coordenadas cartesianas de
P son aproximadamente (1.09, -1.89, 1.66).
Las coordenadas esferoidales oblatas suelen ser útiles para resolver ecuaciones diferenciales parciales cuando las condiciones de contorno se definen en un esferoide achatado o en un hiperboloide de revolución . Por ejemplo, jugaron un papel importante en el cálculo de los factores de fricción de Perrin , lo que contribuyó a la concesión del Premio Nobel de Física de 1926 a Jean Baptiste Perrin . Estos factores de fricción determinan la difusión rotacional de moléculas, lo que afecta la viabilidad de muchas técnicas como la RMN de proteínas y a partir de las cuales se puede inferir el volumen hidrodinámico y la forma de las moléculas. Las coordenadas esferoidales oblatas también son útiles en problemas de electromagnetismo (p. Ej., Constante dieléctrica de moléculas oblatas cargadas), acústica (p. Ej., Dispersión de sonido a través de un orificio circular), dinámica de fluidos (p. Ej., El flujo de agua a través de una boquilla de manguera contra incendios) y la difusión de materiales y calor (por ejemplo, enfriamiento de una moneda al rojo vivo en un baño de agua)
Figura 2: Gráfico de las coordenadas esferoidales achatadas μ y ν en el plano
x -
z , donde φ es cero y
a es igual a uno. Las curvas de constante
μ forman elipses rojas, mientras que las de constante
ν forman medias hipérbolas cian en este plano. El eje
z corre verticalmente y separa los focos; las coordenadas
zy ν siempre tienen el mismo signo. Las superficies de constante μ y ν en tres dimensiones se obtienen por rotación alrededor del eje
z , y son las superficies roja y azul, respectivamente, en la Figura 1.
La definición más común de coordenadas esferoidales oblatas. es
dónde es un número real no negativo y el ángulo . El ángulo azimutal puede caer en cualquier lugar en un círculo completo, entre . Estas coordenadas se favorecen sobre las alternativas siguientes porque no están degeneradas; el conjunto de coordenadas describe un punto único en coordenadas cartesianas . Lo contrario también es cierto, excepto en el-eje y el disco en el plano dentro del anillo focal.
Superficies coordinadas
Las superficies de μ constante forman esferoides achatados , por la identidad trigonométrica
ya que son elipses giradas alrededor del eje z , que separa sus focos. Una elipse en el plano x - z (Figura 2) tiene un semieje mayor de longitud a cosh μ a lo largo del eje x , mientras que su semieje menor tiene una longitud a senh μ a lo largo del eje z . Los focos de todas las elipses en el plano x - z están ubicados en el eje x en ± a .
De manera similar, las superficies de constante ν forman medio hiperboloides de revolución de una hoja por la identidad trigonométrica hiperbólica
Para ν positivo, el medio hiperboloide está por encima del plano x - y (es decir, tiene z positivo ) mientras que para ν negativo, el medio hiperboloide está por debajo del plano x - y (es decir, tiene z negativo ). Geométricamente, el ángulo ν corresponde al ángulo de las asíntotas de la hipérbola. Los focos de todas las hipérbolas también se encuentran en el eje x en ± a .
Transformación inversa
Las coordenadas (μ, ν, φ) se pueden calcular a partir de las coordenadas cartesianas ( x , y , z ) de la siguiente manera. El ángulo azimutal φ viene dado por la fórmula
El radio cilíndrico ρ del punto P está dado por
y sus distancias a los focos en el plano definido por φ viene dada por
Las coordenadas restantes μ y ν se pueden calcular a partir de las ecuaciones
donde el signo de μ es siempre no negativo y el signo de ν es el mismo que el de z .
Otro método para calcular la transformación inversa es
dónde
Factores de escala
Los factores de escala para las coordenadas μ y ν son iguales
mientras que el factor de escala azimutal es igual a
En consecuencia, un elemento de volumen infinitesimal es igual a
y el laplaciano se puede escribir
Otros operadores diferenciales como y se puede expresar en las coordenadas (μ, ν, φ) sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en las coordenadas ortogonales .
Vectores de base
Los vectores base ortonormales para el El sistema de coordenadas se puede expresar en coordenadas cartesianas como
dónde son los vectores unitarios cartesianos. Aquí, es el vector normal hacia afuera a la superficie esferoidal achatada de constante , es el mismo vector unitario azimutal de coordenadas esféricas, y se encuentra en el plano tangente a la superficie del esferoide achatado y completa el conjunto de bases para diestros.
PRECAUCIÓN: (Edite este párrafo) Los vectores base de la coordenada esferoidal oblata no obedecen
pero,
Otro conjunto de coordenadas esferoidales achatadas a veces se usan donde y (Smythe 1968). Las curvas de constante son esferoides achatados y las curvas de constante son los hiperboloides de la revolución. La coordenada está restringido por y está restringido por .
La relación con las coordenadas cartesianas es
Factores de escala
Los factores de escala para están:
Conociendo los factores de escala, se pueden calcular varias funciones de las coordenadas mediante el método general descrito en el artículo de coordenadas ortogonales . El elemento de volumen infinitesimal es:
El gradiente es:
La divergencia es:
y el laplaciano es igual
Armónicos esferoidales oblatos
- Ver también función de onda esferoidal oblata .
Como es el caso de las coordenadas esféricas y los armónicos esféricos , la ecuación de Laplace puede resolverse mediante el método de separación de variables para producir soluciones en forma de armónicos esferoidales achatados , que son convenientes de usar cuando las condiciones de contorno se definen en una superficie con una constante. coordenada esferoidal achatada.
Siguiendo la técnica de separación de variables , se escribe una solución a la ecuación de Laplace:
Esto produce tres ecuaciones diferenciales separadas en cada una de las variables:
donde m es una constante que es un número entero porque la variable φ es periódica con período 2π. n entonces será un número entero. La solución a estas ecuaciones es:
donde el son constantes y y son polinomios de Legendre asociados de primer y segundo tipo respectivamente. El producto de las tres soluciones se llama armónico esferoidal achatado y la solución general de la ecuación de Laplace se escribe:
Las constantes se combinarán para producir solo cuatro constantes independientes para cada armónico.
Figura 3: Isosuperficies coordinadas para un punto P (mostrado como una esfera negra) en las coordenadas esferoidales oblatas alternativas (σ, τ, φ). Como antes, el esferoide achatado correspondiente a σ se muestra en rojo, y φ mide el ángulo azimutal entre los semiplanos verde y amarillo. Sin embargo, la superficie de constante τ es un hiperboloide completo de una hoja, que se muestra en azul. Esto produce una degeneración doble, mostrada por las dos esferas negras ubicadas en (
x ,
y , ±
z ).
A veces se utiliza un conjunto alternativo y geométricamente intuitivo de coordenadas esferoidales achatadas (σ, τ, φ), donde σ = cosh μ y τ = cos ν. [1] Por lo tanto, la coordenada σ debe ser mayor o igual a uno, mientras que τ debe estar entre ± 1, inclusive. Las superficies de constante σ son esferoides achatados, al igual que las de constante μ, mientras que las curvas de constante τ son hiperboloides completos de revolución, incluidos los semi-hiperboloides correspondientes a ± ν. Por tanto, estas coordenadas están degeneradas; dos puntos en coordenadas cartesianas ( x , y , ± z ) se asignan a un conjunto de coordenadas (σ, τ, φ). Esta doble degeneración en el signo de z es evidente a partir de las ecuaciones que se transforman de coordenadas esferoidales achatadas a coordenadas cartesianas.
Las coordenadas y tienen una relación simple con las distancias al anillo focal. Para cualquier punto, la suma de sus distancias al anillo focal es igual a , mientras que su diferencia es igual a . Por lo tanto, la distancia "lejana" al anillo focal es, mientras que la distancia "cercana" es .
Superficies coordinadas
Similar a su contraparte μ, las superficies de constante σ forman esferoides achatados
De manera similar, las superficies de constante τ forman hiperboloides de revolución completos de una hoja.
Factores de escala
Los factores de escala para las coordenadas esferoidales oblatas alternativas están
mientras que el factor de escala azimutal es .
Por lo tanto, el elemento de volumen infinitesimal se puede escribir
y el laplaciano es igual
Otros operadores diferenciales como y se puede expresar en las coordenadas sustituyendo los factores de escala en las fórmulas generales que se encuentran en coordenadas ortogonales .
Como es el caso de las coordenadas esféricas , la ecuación de Laplaces puede resolverse mediante el método de separación de variables para producir soluciones en forma de armónicos esferoidales achatados , que son convenientes de usar cuando las condiciones de contorno se definen en una superficie con una coordenada esferoidal achatada constante. (Ver Smythe, 1968).