Esferoide

Superficie formada al girar una elipse alrededor de uno de sus ejes; caso especial de elipsoide

Para esferoides en cultivo celular, consulte cultivo celular 3D . Para esferoides de equilibrio rotatorio, consulte Esferoide de Maclaurin .

Esferoides con ejes de rotación verticales

oblato		prolato

Un esferoide , o elipsoide de revolución , es una superficie cuádrica obtenida al girar una elipse alrededor de uno de sus ejes principales; en otras palabras, un elipsoide con dos semidiámetros iguales . Un esferoide tiene simetría circular .

Si la elipse se gira alrededor de su eje mayor, el resultado es un esferoide alargado (alargado), con forma de pelota de fútbol americano o rugby . Si la elipse se hace girar alrededor de su eje menor, el resultado es un achatado (aplanada) esferoide, con forma de lenteja o una llanura M & M . Si la elipse generadora es un círculo, el resultado es una esfera .

Debido a los efectos combinados de la gravedad y la rotación , la figura de la Tierra (y de todos los planetas ) no es exactamente una esfera, sino que está ligeramente aplanada en la dirección de su eje de rotación. Por esa razón, en cartografía y geodesia, la Tierra a menudo se aproxima mediante un esferoide achatado, conocido como elipsoide de referencia , en lugar de una esfera. El modelo actual del Sistema Geodésico Mundial utiliza un esferoide cuyo radio es de 6.378,137 km (3.963,191 mi) en el ecuador y de 6.356,752 km (3.949,903 mi) en los polos .

La palabra esferoide originalmente significaba "un cuerpo aproximadamente esférico", admitiendo irregularidades incluso más allá de la forma elipsoidal bi o triaxial, y así es como se usa el término en algunos artículos más antiguos sobre geodesia (por ejemplo, refiriéndose a expansiones armónicas esféricas truncadas de la tierra). ^[1]

Ecuación

La asignación de semi-ejes en un esferoide. Es achatado si c < un (izquierda) y alargada si c > una (derecha).

La ecuación de un tri-axial elipsoide centrado en el origen con semi-ejes de un , b y c alineados a lo largo de los ejes de coordenadas se

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1.}$

La ecuación de un esferoide con z como eje de simetría se da estableciendo a = b :

${\displaystyle {\frac {x^{2}+y^{2}}{a^{2}}}+{\frac {z^{2}}{c^{2}}}=1.}$

El semieje a es el radio ecuatorial del esferoide y c es la distancia del centro al polo a lo largo del eje de simetría. Hay dos casos posibles:

• c < a : esferoide achatado
• c > a : esferoide alargado

El caso de a = c se reduce a una esfera.

Propiedades

Área

Un esferoide achatado con c < a tiene un área de superficie

${\displaystyle S_{\rm {oblate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {1-e^{2}}{e}}{\text{artanh}}\,e\right)=2\pi a^{2}+\pi {\frac {c^{2}}{e}}\ln \left({\frac {1+e}{1-e}}\right)\quad {\mbox{where}}\quad e^{2}=1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}.}$

El esferoide achatado es generado por la rotación alrededor de la z eje x de una elipse con el eje semi-mayor una y semi-eje menor c , por lo tanto, e se pueden identificar como la excentricidad . (Ver elipse ). ^[2]

Un esferoide alargado con c > a tiene un área de superficie

${\displaystyle S_{\rm {prolate}}=2\pi a^{2}\left(1+{\frac {c}{ae}}\arcsin \,e\right)\qquad {\mbox{where}}\qquad e^{2}=1-{\frac {a^{2}}{c^{2}}}.}$

El esferoide alargado se genera por rotación alrededor del eje z de una elipse con eje semi-mayor c y semi-eje menor a ; por lo tanto, e puede identificarse nuevamente como la excentricidad . (Ver elipse ). ^[3]

Estas fórmulas son idénticas en el sentido de que la fórmula para S _oblato se puede utilizar para calcular el área de superficie de un esferoide prolongado y viceversa. Sin embargo, e se vuelve imaginario y ya no puede identificarse directamente con la excentricidad. Ambos resultados se pueden convertir en muchas otras formas utilizando identidades matemáticas estándar y relaciones entre parámetros de la elipse.

Volumen

El volumen dentro de un esferoide (de cualquier tipo) es . Si es el diámetro ecuatorial y es el diámetro polar, el volumen es .${\displaystyle {\frac {4\pi }{3}}a^{2}c\approx 4.19a^{2}c}$${\displaystyle A=2a}$${\displaystyle C=2c}$${\displaystyle {\frac {\pi }{6}}A^{2}C\approx 0.523A^{2}C}$

Curvatura

Ver también: Radio de la Tierra § Radios de curvatura

Si un esferoide se parametriza como

${\displaystyle {\vec {\sigma }}(\beta ,\lambda )=(a\cos \beta \cos \lambda ,a\cos \beta \sin \lambda ,c\sin \beta );\,\!}$

donde β es la latitud reducida o paramétrica , λ es la longitud y -π/2< β <+π/2y −π < λ <+ π , entonces su curvatura gaussiana es

${\displaystyle K(\beta ,\lambda )={c^{2} \over \left(a^{2}+\left(c^{2}-a^{2}\right)\cos ^{2}\beta \right)^{2}};\,\!}$

y su curvatura media es

${\displaystyle H(\beta ,\lambda )={c\left(2a^{2}+\left(c^{2}-a^{2}\right)\cos ^{2}\beta \right) \over 2a\left(a^{2}+\left(c^{2}-a^{2}\right)\cos ^{2}\beta \right)^{\frac {3}{2}}}.\,\!}$

Ambas curvaturas son siempre positivas, de modo que cada punto de un esferoide es elíptico.

Relación de aspecto

La relación de aspecto de un esferoide / elipse achatado, c  : a , es la relación entre las longitudes polar y ecuatorial, mientras que el aplanamiento (también llamado achatamiento) f , es la relación entre la diferencia de longitud ecuatorial-polar y la longitud ecuatorial:

${\displaystyle f={\frac {a-c}{a}}=1-{\frac {c}{a}}.}$

La primera excentricidad (por lo general, simplemente excentricidad, como se indicó anteriormente) se usa a menudo en lugar de aplanamiento. ^[4] Se define por:

${\displaystyle e={\sqrt {1-{\frac {c^{2}}{a^{2}}}}}}$

Las relaciones entre excentricidad y aplanamiento son:

${\displaystyle e={\sqrt {2f-f^{2}}}}$,

${\displaystyle f=1-{\sqrt {1-e^{2}}}}$

Todos los elipsoides geodésicos modernos están definidos por el eje semi-mayor más el eje semi-menor (que da la relación de aspecto), el aplanamiento o la primera excentricidad. Si bien estas definiciones son matemáticamente intercambiables, los cálculos del mundo real deben perder algo de precisión. Para evitar confusiones, una definición elipsoidal considera que sus propios valores son exactos en la forma que da.

Aplicaciones

Las formas más comunes para la distribución de densidad de protones y neutrones en un núcleo atómico son esféricas , alargadas y esferoidales achatadas, donde se supone que el eje polar es el eje de espín (o la dirección del vector de momento angular de espín ). Las formas nucleares deformadas se producen como resultado de la competencia entre la repulsión electromagnética entre protones, la tensión superficial y los efectos de la capa cuántica .

Esferoides oblatos

El planeta Júpiter es un esferoide achatado con un aplanamiento de 0.06487

El esferoide achatado es la forma aproximada de los planetas en rotación y otros cuerpos celestes , como la Tierra, Saturno , Júpiter y la estrella Altair, que gira rápidamente . Saturno es el planeta más achatado del Sistema Solar , con un aplanamiento de 0,09796. El científico de la Ilustración Isaac Newton , trabajando a partir de los experimentos de péndulo de Jean Richer y las teorías de Christiaan Huygens para su interpretación, razonó que Júpiter y la Tierra son esferoides achatados debido a su fuerza centrífuga . ^[5][6] Los diversos sistemas cartográficos y geodésicos de la Tierra se basan en elipsoides de referencia , todos los cuales son achatados.

Un ejemplo de ciencia ficción de un planeta extremadamente achatado es Mesklin de la novela Misión de gravedad de Hal Clement .

Prolate esferoides

Un australiano gobierna el fútbol .

El esferoide alargado es la forma aproximada de la pelota en varios deportes, como en el rugby .

Varias lunas del Sistema Solar tienen una forma aproximada de esferoides alargados, aunque en realidad son elipsoides triaxiales . Algunos ejemplos son los satélites de Saturno Mimas , Encelado y Tetis y el satélite Miranda de Urano .

En contraste con ser distorsionados en esferoides achatados a través de una rotación rápida, los objetos celestes se distorsionan levemente en esferoides prolongados a través de las fuerzas de marea cuando orbitan un cuerpo masivo en una órbita cercana. El ejemplo más extremo es la luna de Júpiter , Io , que se vuelve un poco más o menos alargada en su órbita debido a una ligera excentricidad, provocando un intenso vulcanismo . En este caso, el eje mayor del esferoide alargado no atraviesa los polos del satélite, sino los dos puntos de su ecuador que miran directamente hacia y desde el primario.

El término también se usa para describir la forma de algunas nebulosas como la Nebulosa del Cangrejo . ^[7] Las zonas de Fresnel , utilizadas para analizar la propagación de ondas y la interferencia en el espacio, son una serie de esferoides prolados concéntricos con ejes principales alineados a lo largo de la línea de visión directa entre un transmisor y un receptor.

Los núcleos atómicos de los elementos actínidos y lantánidos tienen forma de esferoides alargados. ^[8] En anatomía, los órganos casi esferoides, como los testículos, se pueden medir por sus ejes largo y corto . ^[9]

Muchos submarinos tienen una forma que puede describirse como esferoide alargado. ^[10]

Propiedades dinámicas

Ver también: Elipsoide § Propiedades dinámicas

Para un esferoide que tiene una densidad uniforme, el momento de inercia es el de un elipsoide con un eje de simetría adicional. Dada la descripción de un esferoide como teniendo un eje mayor c , y menor ejes de un y b , los momentos de inercia a lo largo de estos ejes principales son C , A , y B . Sin embargo, en un esferoide, los ejes menores son simétricos. Por lo tanto, nuestros términos inerciales a lo largo de los ejes principales son: ^[11]

${\displaystyle A=B={\frac {1}{5}}M(a^{2}+c^{2}),}$

${\displaystyle C={\frac {1}{5}}M(a^{2}+a^{2})={\frac {2}{5}}M(a^{2}),}$

donde M es la masa del cuerpo definida como

${\displaystyle M={\frac {4}{3}}\pi \rho ca^{2}.}$

Ver también

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con esferoides .

Wikisource tiene el texto del artículo Spheroid de la Encyclopædia Britannica de 1911 .

• Domo elipsoidal
• Abultamiento ecuatorial
• Lentoide
• Coordenadas esferoidales oblatas
• Ovoide
• Prolate coordenadas esferoidales
• Rotación de ejes
• Traducción de axes

Referencias

1. Torge, Wolfgang (2001). Geodesia (3ª ed.). Walter de Gruyter . pag. 104. ISBN 9783110170726.
2. Una derivación de este resultado se puede encontrar en "Oblate Spheroid - de Wolfram MathWorld" . Mathworld.wolfram.com . Consultado el 24 de junio de 2014 .
3. Una derivación de este resultado se puede encontrar en "Prolate Spheroid - de Wolfram MathWorld" . Mathworld.wolfram.com. 7 de octubre de 2003 . Consultado el 24 de junio de 2014 .
4. Brial P., Shaalan C. (2009), Introducción a la Géodésie et au geopositionnement par satellites , p.8
5. Greenburg, John L. (1995). "Isaac Newton y el problema de la forma de la tierra". Historia de las Ciencias Exactas . Saltador. 49 (4): 371–391. doi : 10.1007 / BF00374704 . JSTOR 41134011 . S2CID 121268606 .  
6. Durant, Will; Durant, Ariel (28 de julio de 1997). La historia de la civilización: la época de Luis XIV . Libros MJF. ISBN 1567310192.
7. Trimble, Virginia Louise (octubre de 1973), "La distancia a la nebulosa del cangrejo y NP 0532", Publicaciones de la Sociedad Astronómica del Pacífico , 85 (507): 579, Bibcode : 1973PASP ... 85..579T , doi : 10.1086 / 129507
8. "Fisión nuclear - teoría de la fisión" . Enciclopedia Británica .
9. Página 559 en: John Pellerito, Joseph F Polak (2012). Introducción a la ecografía vascular (6 ed.). Ciencias de la salud de Elsevier. ISBN 9781455737666.
10. "¿Qué tienen en común un submarino, un cohete y una pelota de fútbol?" . Scientific American . 8 de noviembre de 2010 . Consultado el 13 de junio de 2015 .
11. Weisstein, Eric W. "Esferoide" . MathWorld: un recurso web de Wolfram . Consultado el 16 de mayo de 2018 .