En matemáticas y sus aplicaciones, la teoría clásica de Sturm-Liouville es la teoría de ecuaciones diferenciales ordinarias lineales reales de segundo orden de la forma:
para funciones de coeficiente dadas p ( x ) , q ( x ) y w ( x ) y una función desconocida y de la variable libre x . La función w ( x ) , a veces denominada r ( x ) , se denomina función de peso o de densidad . Todas las ecuaciones diferenciales ordinarias lineales de segundo orden se pueden reducir a esta forma.
En el caso más simple donde todos los coeficientes son continuos en el intervalo cerrado finito [ a , b ] y p tiene derivada continua, una función y se llama solución si es continuamente diferenciable en ( a , b ) y satisface la ecuación ( 1 ) en cada punto en ( a , b ) . (En el caso más general de p ( x ) , q ( x ) , w ( x ), las soluciones deben entenderse en un sentido débil .) Además, normalmente se requiere y para satisfacer algunas condiciones de contorno en a y b . Cada una de estas ecuaciones ( 1 ) junto con sus condiciones de contorno constituye un problema de Sturm-Liouville (SL).
El valor de λ no se especifica en la ecuación: encontrar el λ para el que existe una solución no trivial es parte del problema SL dado. Tales valores de λ , cuando existen, se denominan valores propios del problema, y las soluciones correspondientes son las funciones propias asociadas a cada λ . Esta terminología se debe a que las soluciones corresponden a los valores propios y funciones propias de un operador diferencial hermitiano en un espacio funcional apropiado. La teoría de Sturm-Liouville estudia la existencia y el comportamiento asintótico de los valores propios, la correspondiente teoría cualitativa de las funciones propias y su completitud en el espacio de funciones.
Esta teoría es importante en matemáticas aplicadas, donde los problemas SL ocurren con mucha frecuencia, particularmente cuando se trata de ecuaciones diferenciales parciales lineales separables . Por ejemplo, en mecánica cuántica , la ecuación de Schrödinger unidimensional e independiente del tiempo es un problema SL.
Se dice que un problema de Sturm-Liouville es regular si p ( x ) , w ( x ) > 0 , y p ( x ) , p ′( x ) , q ( x ) , w ( x ) son funciones continuas sobre el finito intervalo [ a , b ] , y el problema tiene condiciones de frontera separadas de la forma: