En lógica matemática , una teoría omega-categórica es una teoría que tiene exactamente un modelo infinito numerable hasta el isomorfismo . La categoricidad omega es el caso especial κ = = ω de κ-categoria , y las teorías omega-categóricas también se denominan ω-categóricas . La noción es más importante para las teorías contables de primer orden .
Condiciones equivalentes para la categoricidad omega
Muchas condiciones de una teoría son equivalentes a la propiedad de la categoricidad omega. En 1959 Erwin Engeler , Czesław Ryll-Nardzewski y Lars Svenonius demostraron ser varios de forma independiente. [1] A pesar de esto, la literatura todavía se refiere ampliamente al teorema de Ryll-Nardzewski como un nombre para estas condiciones. Las condiciones incluidas con el teorema varían entre los autores. [2] [3]
Dada una teoría T de primer orden completa contable con modelos infinitos, los siguientes son equivalentes:
- La teoría T es omega-categórica.
- Cada modelo contable de T tiene un grupo de automorfismo oligomórfico (es decir, hay un número infinito de órbitas en M n para cada n ).
- Algún modelo contable de T tiene un grupo de automorfismo oligomórfico. [4]
- La teoría T tiene un modelo que, para cada número natural n , realiza sólo un número finito de n tipos, es decir, el espacio de Piedra S n ( T ) es finito.
- Para cada número natural n , T solo tiene un número finito de n tipos.
- Para cada número natural n , cada n- tipo está aislado .
- Para cada número natural n , hasta el módulo de equivalencia T sólo hay un número finito de fórmulas con n variables libres, es decir, para cada n , el n- ésimo álgebra de Lindenbaum-Tarski de T es finito.
- Todo modelo de T es atómico .
- Todo modelo contable de T es atómico.
- La teoría T tiene un modelo atómico y saturado contable .
- La teoría T tiene un modelo primo saturado .
Ejemplos de
La teoría de cualquier estructura numerablemente infinita que sea homogénea sobre un lenguaje relacional finito es omega-categórica. [5] Por lo tanto, las siguientes teorías son omega-categóricas:
- La teoría de los órdenes lineales densos sin puntos finales
- La teoría del grafo de Rado
- La teoría de los espacios lineales infinitos sobre cualquier campo finito
Notas
Referencias
- Cameron, Peter J. (1990), Grupos de permutación oligomórfica , Serie de notas de conferencia de la Sociedad Matemática de Londres, 152 , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 0-521-38836-8, Zbl 0813.20002
- Chang, Chen Chung; Keisler, H. Jerome (1989) [1973], Model Theory , Elsevier, ISBN 978-0-7204-0692-4
- Hodges, Wilfrid (1993), teoría de modelos , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-30442-9
- Hodges, Wilfrid (1997), Una teoría de modelos más breve , Cambridge: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-58713-6
- Macpherson, Dugald (2011), "Un estudio de estructuras homogéneas", Matemáticas discretas , 311 (15): 1599–1634, doi : 10.1016 / j.disc.2011.01.024 , MR 2800979
- Poizat, Bruno (2000), Un curso de teoría de modelos: una introducción a la lógica matemática contemporánea , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98655-5
- Rothmaler, Philipp (2000), Introducción a la teoría de modelos , Nueva York: Taylor & Francis, ISBN 978-90-5699-313-9