Sobre espirales ( griego : Περὶ ἑλίκων ) es un tratado de Arquímedes , escrito alrededor del 225 a. C. [1] En particular, Arquímedes empleó la espiral de Arquímedes en este libro para cuadrar el círculo y trisecar un ángulo . [2]
Contenido
Prefacio
Arquímedes comienza On Spirals con un mensaje a Dositheus de Pelusium mencionando la muerte de Conon como una pérdida para las matemáticas. Luego continúa resumiendo los resultados de Sobre la esfera y el cilindro (Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου) y Sobre conoides y esferoides (Περὶ κωνοειδέων καὶ σφαιροειδέων). Continúa exponiendo sus resultados de On Spirals .
Espiral de Arquímedes
La espiral de Arquímedes fue estudiada por primera vez por Conon y luego fue estudiada por Arquímedes en Sobre las espirales . Arquímedes pudo encontrar varias tangentes a la espiral. [1] Él define la espiral como:
Si una línea recta, uno de cuyos extremos permanece fija, se hace girar a una velocidad uniforme en un plano hasta que vuelve a la posición desde la que comenzó, y si, al mismo tiempo que la línea recta está girando, un punto se mueve en una tasa uniforme a lo largo de la línea recta, comenzando desde el extremo fijo, el punto describirá una espiral en el plano. [3]
Trisección de un ángulo
La construcción de cómo Arquímedes trisecó el ángulo es la siguiente:
Suponga que el ángulo ABC se trisecciona. Trisecta el segmento BC y encuentra que BD es un tercio de BC. Dibuja un círculo con centro B y radio BD. Suponga que el círculo con centro B se cruza con la espiral en el punto E. El ángulo ABE es un tercio del ángulo ABC. [4]
Cuadrando el circulo
Para cuadrar el círculo, Arquímedes dio la siguiente construcción:
Sea P el punto de la espiral cuando ha completado una vuelta. Deje que la tangente en P corte la línea perpendicular a OP en T. OT es la longitud de la circunferencia del círculo con radio OP.
Arquímedes ya había probado como la primera proposición de Medición de un círculo que el área de un círculo es igual a un triángulo rectángulo que tiene las longitudes de los catetos iguales al radio del círculo y la circunferencia del círculo. Entonces, el área del círculo con radio OP es igual al área del triángulo OPT. [5]
Referencias
- ^ a b Weisstein, Eric W. "Espiral de Arquímedes" . MathWorld .
- ^ "Espiral" . Encyclopædia Britannica . 2008 . Consultado el 29 de julio de 2008 .[ enlace muerto permanente ]
- ^ Heath, Thomas Little (1921), Una historia de las matemáticas griegas , Boston: Adamant Media Corporation, p. 64, ISBN 0-543-96877-4, consultado el 20 de agosto de 2008
- ^ Tokuda, Naoyuki; Chen, Liang (18 de marzo de 1999), Ángulos de trisección (PDF) , Universidad de Utsunomiya, Utsunomiya, Japón, págs. 5–6, archivado desde el original (PDF) el 22 de julio de 2011 , consultado el 20 de agosto de 2008
- ^ "Tema de historia: Cuadrar el círculo" . Consultado el 20 de agosto de 2008 .