En la esfera y el cilindro

Una página de "Sobre la esfera y el cilindro" en latín

Sobre la esfera y el cilindro (en griego : Περὶ σφαίρας καὶ κυλίνδρου ) es un trabajo que fue publicado por Arquímedes en dos volúmenes c. 225 a. C. ^[1] Detalla más notablemente cómo encontrar el área de superficie de una esfera y el volumen de la bola conteniday los valores análogos para un cilindro , y fue el primero en hacerlo. ^[2]

Contenido

El volumen de una esfera al volumen de un cilindro es de 2 a 3

Las fórmulas principales derivadas en Sobre la esfera y el cilindro son las mencionadas anteriormente: el área de la superficie de la esfera, el volumen de la bola contenida y el área de la superficie y el volumen del cilindro. Sea el radio de la esfera y el cilindro, y la altura del cilindro, suponiendo que el cilindro es un cilindro recto, el lado es perpendicular a ambos casquetes. En su trabajo, Arquímedes mostró que el área de superficie de un cilindro es igual a:${\displaystyle r}$${\displaystyle h}$

${\displaystyle A_{C}=2\pi r^{2}+2\pi rh=2\pi r(r+h).\,}$

y que el volumen del mismo es:

${\displaystyle V_{C}=\pi r^{2}h.\,}$^[3]

En la esfera, mostró que el área de la superficie es cuatro veces el área de su gran círculo . En términos modernos, esto significa que la superficie es igual a:

${\displaystyle A_{S}=4\pi r^{2}.\,}$

El resultado para el volumen de la bola contenida indicó que es dos tercios del volumen de un cilindro circunscrito , lo que significa que el volumen es

${\displaystyle V_{S}={\frac {4}{3}}\pi r^{3}.}$

Cuando el cilindro de inscripción está apretado y tiene una altura , de modo que la esfera toca el cilindro en la parte superior e inferior, mostró que tanto el volumen como el área de la superficie de la esfera eran dos tercios del del cilindro. Esto implica que el área de la esfera es igual al área del cilindro menos sus tapas. Este resultado eventualmente conduciría a la proyección cilíndrica de áreas iguales de Lambert , una forma de mapear el mundo que representa áreas con precisión. Arquímedes estaba particularmente orgulloso de este último resultado, por lo que pidió que se inscribiera en su tumba un boceto de una esfera inscrita en un cilindro. Más tarde, el filósofo romano Marco Tulio Cicerón descubrió la tumba, que había sido cubierta por la vegetación circundante. ^[4]${\displaystyle h=2r}$

El argumento que usó Arquímedes para probar la fórmula del volumen de una bola estaba bastante involucrado en su geometría, y muchos libros de texto modernos tienen una versión simplificada que usa el concepto de límite , que no existía en la época de Arquímedes. Arquímedes usó un medio polígono inscrito en un semicírculo, luego giró ambos para crear un conglomerado de troncos en una esfera, del cual luego determinó el volumen. ^[5]

Parece que este no es el método original que usó Arquímedes para derivar este resultado, sino el mejor argumento formal disponible para él en la tradición matemática griega. Su método original probablemente implicó un uso inteligente de palancas. ^[6] Un palimpsesto robado de la Iglesia Ortodoxa Griega a principios del siglo XX, que reapareció en una subasta en 1998, contenía muchas de las obras de Arquímedes, incluido El método de los teoremas mecánicos , en el que describe un método para determinar volúmenes que involucra saldos, centros de masa y cortes infinitesimales. ^[7]

Ver también

• Propiedad de Arquímedes

Notas

1. Dunham 1990 , p. 78
2. Weisstein, Eric W. "Esfera" . MathWorld . Consultado el 22 de junio de 2008.
3. Dunham 1994 , p. 227
4. "Archimedes: His Works", Britannica Online , Encyclopædia Britannica , consultado el 23 de junio de 2008
5. ( Dunham 1994 , p. 226)
6. Károly Simonyi (2012). Una historia cultural de la física . Prensa CRC . pag. 88. ISBN 978-1-56881-329-5. Consultado el 4 de julio de 2013 .
7. "El secreto de Arquímedes (documental de la BBC)" . BBC . Consultado el 4 de julio de 2013 .

Referencias

• Dunham, William (1990), Journey Through Genius (1a ed.), John Wiley and Sons, ISBN 0-471-50030-5
• Dunham, William (1994), The Mathematical Universe (1a ed.), John Wiley and Sons, ISBN 0-471-53656-3
• SH Gould, El método de Arquímedes, The American Mathematical Monthly. Vol. 62, núm. 7 (agosto-septiembre de 1955), págs. 473–476

• Lucio Lombardo Radice, La matematica da Pitagora a Newton , Roma, Editori Riuniti , 1971.
• Attilio Frajese, Opere di Archimede , Torino, UTET, 1974.