Trisección de ángulo

la construcción de un ángulo igual a un tercio de un ángulo dado

Los ángulos se pueden trisecar mediante una construcción neusis utilizando herramientas más allá de una regla sin marcar y una brújula. El ejemplo muestra la trisección de cualquier ángulo θ>3π/4por una regla de longitud igual al radio del círculo, dando un ángulo trisecado φ =θ/3.

La trisección de ángulo es un problema clásico de las construcciones con compás y regla de las matemáticas griegas antiguas . Se trata de la construcción de un ángulo igual a un tercio de un ángulo arbitrario dado, utilizando solo dos herramientas: una regla sin marcar y un compás .

El problema tal como se indicó es imposible de resolver para ángulos arbitrarios, como lo demostró Pierre Wantzel en 1837. Sin embargo, aunque no hay forma de trisecar un ángulo en general con solo una brújula y una regla, algunos ángulos especiales se pueden trisecar. Por ejemplo, es relativamente sencillo trisecar un ángulo recto (es decir, construir un ángulo de 30 grados).

Es posible trisecar un ángulo arbitrario utilizando herramientas distintas a la regla y el compás. Por ejemplo, la construcción de neusis , también conocida por los antiguos griegos, implica el deslizamiento y la rotación simultáneos de una regla marcada, lo que no se puede lograr con las herramientas originales. Los matemáticos desarrollaron otras técnicas a lo largo de los siglos.

Debido a que está definido en términos simples, pero complejo para resultar irresoluble, el problema de la trisección de ángulos es un tema frecuente de intentos pseudomatemáticos de solución por parte de entusiastas ingenuos. Estas "soluciones" a menudo implican interpretaciones erróneas de las reglas o simplemente son incorrectas. ^[1]

Enunciado de antecedentes y problemas

La bisección de ángulos arbitrarios se ha resuelto desde hace mucho tiempo.

Usando solo una regla sin marcar y un compás, los matemáticos griegos encontraron la manera de dividir una línea en un conjunto arbitrario de segmentos iguales, dibujar líneas paralelas , bisecar ángulos , construir muchos polígonos y construir cuadrados de igual o dos veces el área de un polígono dado.

Tres problemas resultaron esquivos, específicamente, trisecar el ángulo, doblar el cubo y cuadrar el círculo . El problema de la trisección del ángulo dice:

Construya un ángulo igual a un tercio de un ángulo arbitrario dado (o divídalo en tres ángulos iguales), usando solo dos herramientas:

1. una regla sin marcar, y
2. un compás.

Prueba de imposibilidad

Gobernantes . Los mostrados están marcados: una regla ideal no está marcada

Brújulas

Pierre Wantzel publicó una prueba de la imposibilidad de trisecar clásicamente un ángulo arbitrario en 1837. ^[2] La prueba de Wantzel, reformulada en terminología moderna, usa el álgebra abstracta de extensiones de campo , un tema que ahora se combina típicamente con la teoría de Galois . Sin embargo, Wantzel publicó estos resultados antes que Galois (cuyo trabajo se publicó en 1846) y no utilizó la conexión entre extensiones de campo y grupos que es el tema de la propia teoría de Galois. ^[3]

El problema de construir un ángulo de una medida dada θ es equivalente a construir dos segmentos tales que la razón de su longitud sea cos  θ . De una solución a uno de estos dos problemas, uno puede pasar a la solución del otro mediante una construcción de brújula y regla. La fórmula del triple ángulo da una expresión que relaciona los cosenos del ángulo original y su trisección: cos  θ  =  4 cos ³ θ/3 - 3 cos θ/3.

De ello se deduce que, dado un segmento que se define como de longitud unitaria, el problema de la trisección del ángulo es equivalente a construir un segmento cuya longitud es la raíz de un polinomio cúbico . Esta equivalencia reduce el problema geométrico original a un problema puramente algebraico.

Todo número racional es construible. Cada número irracional que se puede construir en un solo paso a partir de algunos números dados es una raíz de un polinomio de grado 2 con coeficientes en el campo generado por estos números. Por lo tanto, cualquier número que se pueda construir mediante una secuencia de pasos es la raíz de un polinomio mínimo cuyo grado es una potencia de dos . El ánguloπ/3 radianes (60 grados , escrito 60 °) es construible . El siguiente argumento muestra que es imposible construir un ángulo de 20 °. Esto implica que no se puede trisecar un ángulo de 60 ° y, por tanto, que no se puede trisecar un ángulo arbitrario.

Designar el conjunto de los números racionales por Q . Si se pudiera trisecar 60 °, el grado de un polinomio mínimo de cos 20 ° sobre Q sería una potencia de dos. Ahora sea x = cos 20 ° . Tenga en cuenta que cos 60 ° = cosπ/3 = 1/2. Luego, por la fórmula del triple ángulo, cosπ/3= 4 x ³ - 3 x y entonces 4 x ³ - 3 x =1/2. Por lo tanto 8 x ³ - 6 x - 1 = 0 . Definir p ( t ) para el polinomio p ( t ) = 8 t ³ - 6 t - 1 .

Dado que x = cos 20 ° es una raíz de p ( t ) , el polinomio mínimo para cos 20 ° es un factor de p ( t ) . Como p ( t ) tiene grado 3, si es reducible por Q, entonces tiene una raíz racional . Según el teorema de la raíz racional , esta raíz debe ser ± 1, ±1/2, ±1/4o ±1/8, pero ninguno de estos es una raíz. Por lo tanto, p ( t ) es irreducible por Q , y el polinomio mínimo para cos 20 ° es de grado  3 .

Por tanto, un ángulo de 60 ° no se puede trisecar.

Ángulos que se pueden trisecar

Sin embargo, algunos ángulos se pueden trisecar. Por ejemplo, para cualquier ángulo construible θ , un ángulo de medida 3 θ se puede trivialmente trivialmente ignorando el ángulo dado y construyendo directamente un ángulo de medida θ . Hay ángulos que no son construibles pero que son trisectibles (a pesar de que el ángulo de un tercio en sí mismo no es construible). Por ejemplo,3 π/7 es tal ángulo: cinco ángulos de medida 3 π/7 combinar para hacer un ángulo de medida 15 π/7, que es un círculo completo más el deseado π/7.

Para un entero positivo N , un ángulo de medida2 π/nortees trisectible si y sólo si 3 no divide N . ^{[4] [5]} Por el contrario,2 π/nortees construible si y solo si N es una potencia de 2 o el producto de una potencia de 2 con el producto de uno o más primos de Fermat distintos .

Caracterización algebraica

Una vez más, designar el conjunto de los números racionales por Q .

Teorema : Un ángulo de medida θ puede trisectarse si y solo si q ( t ) = 4 t ³ - 3 t - cos ( θ ) es reducible sobre la extensión de campo Q (cos ( θ )) .

La prueba es una generalización relativamente sencilla de la prueba anterior de que un ángulo de 60 ° no es trisectible. ^[6]

Otros métodos

El problema general de la trisección de ángulos se puede resolver utilizando herramientas adicionales y, por lo tanto, saliendo del marco griego original de compás y regla.

Se han propuesto muchos métodos incorrectos para trisecar el ángulo general. Algunos de estos métodos proporcionan aproximaciones razonables; otros (algunos de los cuales se mencionan a continuación) involucran herramientas no permitidas en el problema clásico. El matemático Underwood Dudley ha detallado algunos de estos intentos fallidos en su libro The Trisectors . ^[1]

Aproximación por bisecciones sucesivas

La trisección se puede aproximar mediante la repetición del método de la regla y el compás para bisecar un ángulo. La serie geométrica1/3 = 1/4 + 1/dieciséis + 1/64 + 1/256+ ⋯ o1/3 = 1/2 - 1/4 + 1/8 - 1/dieciséis+ ⋯ se puede utilizar como base para las bisecciones. Se puede obtener una aproximación a cualquier grado de precisión en un número finito de pasos. ^[7]

Usando origami

Artículo principal: Matemáticas del origami § Trisección de un ángulo

La trisección, como muchas construcciones imposibles con la regla y el compás, se puede lograr fácilmente mediante las operaciones de plegado de papel u origami . Los axiomas de Huzita (tipos de operaciones de plegado) pueden construir extensiones cúbicas (raíces cúbicas) de longitudes determinadas, mientras que la regla y el compás solo pueden construir extensiones cuadráticas (raíces cuadradas).

Usando un vínculo

Fan Link de Sylvester

Hay una serie de enlaces simples que se pueden usar para hacer un instrumento para trisecar ángulos, incluido el Trisector de Kempe y el Ventilador de enlace de Sylvester o Isoklinostat. ^[8]

Con una regla triangular derecha

Trisección del ángulo mediante el Rechtwinkelhaken según Ludwig Bieberbach, con continuación de la construcción, animación 1 min 35 s, de los cuales se rompen al final 30 s.

En 1932, Ludwig Bieberbach publicó en Journal für die reine und angewandte Mathematik su obra Zur Lehre von den kubischen Konstruktionen . ^[9] Él dice en el mismo (traducción libre):

" Como se sabe ... cada construcción cúbica se remonta a la trisección del ángulo y a la multiplicación del cubo, es decir, la extracción de la tercera raíz. Solo necesito mostrar cómo estas dos tareas clásicas pueden ser resuelto mediante el gancho en ángulo recto " .

La siguiente descripción de la construcción adyacente (animación) contiene su continuación hasta la trisección completa del ángulo.

Comienza con el primer círculo unitario alrededor de su centro , el primer miembro en ángulo y el segundo círculo unitario alrededor siguiéndolo. Ahora el diámetro de se extiende a la línea del círculo de este círculo unitario, creando el punto de intersección . Siguiendo el arco circular alrededor con el radio y el dibujo de la segunda rama del ángulo desde el ángulo , se obtiene el punto . Ahora se usa el llamado medio de construcción adicional , en el ejemplo ilustrado es el Geodreieck . Este triángulo de geometría, como también se le llama, ahora se coloca en el dibujo de la siguiente manera: El vértice del ángulo recto determina el punto${\displaystyle A}$${\displaystyle {\overline {BP}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\overline {BP}}}$${\displaystyle P}$${\displaystyle O}$${\displaystyle P}$${\displaystyle {\overline {BP}}}$${\displaystyle \delta }$${\displaystyle C}$${\displaystyle S}$en el cateto del ángulo , un cateto del triángulo pasa por el punto y el otro afecta el círculo unitario . Después de que conecta el punto a y el dibujo de la tangente de al círculo unidad en torno a , la mencionada gancho ángulo recto respectivamente Rechtwinkelhaken se muestra. El ángulo encerrado por los segmentos y, por lo tanto, es exactamente . Continúa con el paralelo desde , se están creando el ángulo alterno y el punto . Otro paralelo de determina el punto de contacto.${\displaystyle {\overline {PC}}}$${\displaystyle O}$${\displaystyle A}$${\displaystyle O}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\overline {OS}}}$${\displaystyle {\overline {PS}}}$${\displaystyle {\frac {\delta }{3}}}$${\displaystyle {\overline {OS}}}$${\displaystyle P}$ ${\displaystyle {\frac {\delta }{3}}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle {\overline {OS}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle E}$desde la tangente con el círculo unitario alrededor . Finalmente, dibujar una línea recta desde a través hasta que se cruza con el círculo unidad en . Por tanto, el ángulo tiene exactamente tres partes.${\displaystyle A}$${\displaystyle P}$${\displaystyle E}$${\displaystyle F}$${\displaystyle \delta }$

Con una curva auxiliar

• Trisección usando la espiral de Arquímedes

• Trisección con la trisectrix de Maclaurin

Hay ciertas curvas llamadas trisectrices que, si se dibujan en el plano utilizando otros métodos, se pueden utilizar para trisecar ángulos arbitrarios. ^{[10] Los} ejemplos incluyen la trisectriz de Colin Maclaurin , dada en coordenadas cartesianas por la ecuación implícita

${\displaystyle 2x(x^{2}+y^{2})=a(3x^{2}-y^{2}),}$

y la espiral de Arquímedes . De hecho, la espiral se puede utilizar para dividir un ángulo en cualquier número de partes iguales.

Con una regla marcada

Trisección del ángulo con regla marcada

Otro medio para trisecar un ángulo arbitrario con un "pequeño" paso fuera del marco griego es mediante una regla con dos marcas separadas por una distancia determinada. La siguiente construcción se debe originalmente a Arquímedes , llamada construcción de Neusis , es decir, que utiliza herramientas distintas de una regla no marcada . Los diagramas que usamos muestran esta construcción para un ángulo agudo, pero de hecho funciona para cualquier ángulo de hasta 180 grados.

Esto requiere tres hechos de la geometría (a la derecha):

1. Cualquier conjunto completo de ángulos en una línea recta se suma a 180 °,
2. La suma de los ángulos de cualquier triángulo es 180 ° y ,
3. Dos lados iguales de un triángulo isósceles se encontrarán con el tercero en el mismo ángulo .

Sea l la línea horizontal en el diagrama adyacente. El ángulo a (a la izquierda del punto B ) es objeto de trisección. En primer lugar, un punto A se dibuja en un ángulo de rayo , una unidad aparte de B . Se dibuja un círculo de radio AB . A continuación, la marcación de la regla entra en juego: una marca de la regla se coloca en A y el otro en B . Mientras mantiene la regla (pero no la marca) tocando A , la regla se desliza y gira hasta que una marca esté en el círculo y la otra en la línea l . La marca en el círculo tiene la etiqueta Cy la marca en la línea está etiquetada D . Esto asegura que CD = AB . Se dibuja un radio BC para que sea obvio que los segmentos de línea AB , BC y CD tienen todos la misma longitud. Ahora, los triángulos ABC y BCD son isósceles , por lo tanto (según el Hecho 3 anterior) cada uno tiene dos ángulos iguales.

Hipótesis : Dado que AD es una línea recta, y AB , BC y CD tienen todos la misma longitud,

Conclusión : ángulo b =a/3.

Prueba :

1. Del Hecho 1) arriba, °.${\displaystyle e+c=180}$
2. Mirando el triángulo BCD , del Hecho 2) °.${\displaystyle e+2b=180}$
3. A partir de las dos últimas ecuaciones, .${\displaystyle c=2b}$
4. Del Hecho 2), °, así ° , así del último, ° .${\displaystyle d+2c=180}$${\displaystyle d=180}$${\displaystyle -2c}$${\displaystyle d=180}$${\displaystyle -4b}$
5. Del Hecho 1) arriba, °, entonces ° °.${\displaystyle a+d+b=180}$${\displaystyle a+(180}$${\displaystyle -4b)+b=180}$

Despejando, a - 3 b = 0 , o a = 3 b , y se demuestra el teorema .

Una vez más, esta construcción salió del marco de las construcciones permitidas mediante el uso de una regla marcada.

Con una cuerda

Thomas Hutcheson publicó un artículo en Mathematics Teacher ^[11] que usaba una cuerda en lugar de una brújula y una regla. Una cuerda se puede utilizar como regla (estirándola) o como brújula (fijando un punto e identificando otro), pero también se puede enrollar alrededor de un cilindro, la clave de la solución de Hutcheson.

Hutcheson construyó un cilindro a partir del ángulo a ser trisecado dibujando un arco a través del ángulo, completándolo como un círculo y construyendo a partir de ese círculo un cilindro en el que se inscribió, digamos, un triángulo equilátero (un ángulo de 360 ​​grados dividido en tres ). Esto luego fue "mapeado" en el ángulo a ser trisecado, con una simple prueba de triángulos similares.

Con un "tomahawk"

Un hacha de guerra que triseca un ángulo. El asa forma un trisector y la línea azul que se muestra forma el otro.

Un " tomahawk " es una forma geométrica que consta de un semicírculo y dos segmentos de línea ortogonales, de modo que la longitud del segmento más corto es igual al radio del círculo. La trisección se ejecuta apoyando el extremo del segmento más corto del tomahawk en un rayo, el borde del círculo en el otro, de modo que el "mango" (segmento más largo) cruce el vértice del ángulo; la línea de trisección corre entre el vértice y el centro del semicírculo.

Tenga en cuenta que si bien un hacha de guerra se puede construir con brújula y regla, generalmente no es posible construir un hacha de guerra en la posición deseada. Por lo tanto, la construcción anterior no contradice la no trisectibilidad de los ángulos con la regla y el compás solamente.

El tomahawk produce el mismo efecto geométrico que el método de plegado de papel: la distancia entre el centro del círculo y la punta del segmento más corto es el doble de la distancia del radio, que está garantizado para hacer contacto con el ángulo. También es equivalente al uso de una regla en L de arquitectos ( Plaza de carpintero ).

Con brújulas interconectadas

Un ángulo se puede trisecar con un dispositivo que es esencialmente una versión de cuatro puntas de una brújula, con conexiones entre las puntas diseñadas para mantener iguales los tres ángulos entre las puntas adyacentes. ^[12]

Usos de la trisección de ángulo

Una animación de una construcción neusis de un heptágono con radio de circunferencia , basada en Andrew M. Gleason , usando trisección de ángulo mediante el tomahawk ^{[13] : p. 186}${\displaystyle {\overline {OA}}=6}$

Una ecuación cúbica con coeficientes reales se puede resolver geométricamente con compás, regla y un trisector de ángulo si y solo si tiene tres raíces reales . ^{[13] : Thm. 1}

Un polígono regular con n lados se puede construir con regla, compás y trisector de ángulo si y solo si donde r, s, k ≥ 0 y donde p _i son primos distintos mayores que 3 de la forma (es decir, primos de Pierpont mayores que 3 ). ^{[13] : Thm. 2}${\displaystyle n=2^{r}3^{s}p_{1}p_{2}\cdots p_{k},}$${\displaystyle 2^{t}3^{u}+1}$

Generalización

Para cualquier número entero distinto de cero N , un ángulo de medida de ^{2 pi} / _N radianes se pueden dividir en n partes iguales con regla y compás si y sólo si n es o bien una potencia de 2 o es una potencia de 2 multiplicado por el producto de una o más distintos números primos de Fermat, ninguno de los cuales divide N . En el caso de la trisección ( n = 3 , que es un número primo de Fermat), esta condición se convierte en el requisito mencionado anteriormente de que N no sea divisible por 3 . ^[5]

Ver también

• Bisección
• Número construible
• Polígono construible
• Geometría euclidiana
• Historia de la geometría
• Teorema del trisector de Morley
• Quadratrix
• Trisectrix
• Criptografía geométrica

Referencias

1. Dudley, Underwood (1994), Los trisectores , Asociación Matemática de América , ISBN 978-0-88385-514-0
2. Wantzel, PML (1837). "Recherches sur les moyens de reconnaître si un problème de Géométrie peut se résoudre avec la règle et le compas" (PDF) . Journal de Mathématiques Pures et Appliquées . 1. 2 : 366–372 . Consultado el 3 de marzo de 2014 .
3. Para conocer la base histórica de la demostración de Wantzel en el trabajo anterior de Ruffini y Abel, y su sincronización frente a Galois, consulte Smorynski, Craig (2007), History of Mathematics: A Supplement , Springer, p. 130, ISBN 9780387754802.
4. MacHale, Desmond. "Construcción de ángulos enteros", Mathematical Gazette 66, junio de 1982, 144-145.
5. McLean, K. Robin (julio de 2008). "Trisección de ángulos con regla y brújula " " . Mathematical Gazette . 92 : 320–323. Doi : 10.1017 / S0025557200183317 . Ver también Comentarios sobre este artículo en el vol. 93, marzo de 2009, p. 156.
6. Stewart, Ian (1989).Teoría de Galois. Chapman y Hall Mathematics. págs. g. 58. ISBN 978-0-412-34550-0.
7. Jim Loy (2003) [1997]. "Trisección de un ángulo" . Archivado desde el original el 25 de febrero de 2012 . Consultado el 30 de marzo de 2012 .
8. Yates, Robert C (1942). El problema de la trisección (PDF) . El Consejo Nacional de Profesores de Matemáticas. págs. 39–42.
9. Ludwig Bieberbach (1932) Zur Lehre von den kubischen Konstruktionen, Journal für die reine und angewandte Mathematik, H. Hasse und L. Schlesinger, Band 167 Berlín, p. 142-146 copia en línea (GDZ) . Consultado el 2 de junio de 2017.
10. Jim Loy "Copia archivada" . Archivado desde el original el 4 de noviembre de 2013 . Consultado el 4 de noviembre de 2013 .
11. Hutcheson, Thomas W. (mayo de 2001). "División de cualquier ángulo en cualquier número de partes iguales". Profesor de Matemáticas . 94 (5): 400–405.
12. Isaac, Rufus, "Dos artículos matemáticos sin palabras", Revista de matemáticas 48, 1975, p. 198. Reimpreso en Mathematics Magazine 78, abril de 2005, p. 111.
13. Gleason, Andrew Mattei (marzo de 1988). "Trisección de ángulo, el heptágono y el triskaidecágono" (PDF) . The American Mathematical Monthly . 95 (3): 185-194. doi : 10.2307 / 2323624 . JSTOR 2323624 . Archivado desde el original (PDF) el 5 de noviembre de 2014.  

Lectura adicional

• Courant, Richard, Herbert Robbins, Ian Stewart, ¿Qué son las matemáticas ?: un enfoque elemental de ideas y métodos , Oxford University Press, Estados Unidos, 1996. ISBN 978-0-19-510519-3 . 

Enlaces externos

• Sitio MathWorld
• Problemas geométricos de la antigüedad, incluida la trisección de ángulos
• Algo de historia
• Un eslabón de construcción de regla marcada
• Otro, mencionando a Arquímedes
• Un artículo largo con muchas aproximaciones y significa salir del marco griego.
• Sitio de geometría

Otros medios de trisección

• Trisección de ángulo aproximada como animación, máx. error del ángulo ≈ ± 4E-8 °
• Trisección a través de ( Archivado el 25 de octubre de 2009 ) el limacón de Pascal ; ver también Trisectrix
• Trisección a través de una espiral de Arquímedes
• Trisección a través de la concoide de Nicomedes
• sitio de sciencenews.org sobre el uso de origami
• Trisección hiperbólica y el espectro de polígonos regulares