En matemáticas , la teoría de operadores es el estudio de operadores lineales en espacios de funciones , comenzando con operadores diferenciales y operadores integrales . Los operadores se pueden presentar de forma abstracta por sus características, como operadores lineales acotados u operadores cerrados , y se puede dar consideración a los operadores no lineales . El estudio, que depende en gran medida de la topología de los espacios de funciones, es una rama del análisis funcional .
Si una colección de operadores forma un álgebra sobre un campo , entonces es un álgebra de operadores . La descripción de álgebras de operadores es parte de la teoría de operadores.
La teoría del operador único se ocupa de las propiedades y la clasificación de los operadores, considerados uno a la vez. Por ejemplo, la clasificación de operadores normales en términos de sus espectros cae dentro de esta categoría.
El teorema espectral es cualquiera de una serie de resultados sobre operadores lineales o sobre matrices . [1] En términos generales, el teorema espectral proporciona condiciones bajo las cuales un operador o una matriz pueden ser diagonalizados (es decir, representados como una matriz diagonal en alguna base). Este concepto de diagonalización es relativamente sencillo para operadores en espacios de dimensión finita, pero requiere algunas modificaciones para operadores en espacios de dimensión infinita. En general, el teorema espectral identifica una clase de operadores lineales que pueden ser modelados por operadores de multiplicación, que son tan simples como uno puede esperar encontrar. En un lenguaje más abstracto, el teorema espectral es una afirmación sobre C*-álgebras conmutativas . Ver también teoría espectral para una perspectiva histórica.
Ejemplos de operadores a los que se aplica el teorema espectral son los operadores autoadjuntos o, más generalmente , los operadores normales en los espacios de Hilbert .
El teorema espectral también proporciona una descomposición canónica , denominada descomposición espectral, descomposición de valores propios o descomposición propia , del espacio vectorial subyacente sobre el que actúa el operador.