En la teoría de grupos , una rama de las matemáticas , un grupo opuesto es una forma de construir un grupo a partir de otro grupo que permite definir la acción derecha como un caso especial de acción izquierda .
Los monoides , grupos, anillos y álgebras pueden verse como categorías con un solo objeto. La construcción de la categoría opuesta generaliza el grupo opuesto , el anillo opuesto , etc.
Definición
Dejar ser un grupo bajo la operación . El grupo opuesto de, denotado , tiene el mismo conjunto subyacente que , y su operación grupal es definido por .
Si es abeliano , entonces es igual a su grupo opuesto. Además, cada grupo(no necesariamente abeliano) es naturalmente isomorfo a su grupo opuesto: Un isomorfismo es dado por . De manera más general, cualquier antiautomorfismo da lugar a un isomorfismo correspondiente vía , desde
Acción de grupo
Dejar ser un objeto en alguna categoría, y Sea una acción correcta . Luego es una acción de izquierda definida por , o .