En la teoría de categorías , una rama de las matemáticas , una transformación natural proporciona una forma de transformar un funtor en otro respetando la estructura interna (es decir, la composición de morfismos ) de las categorías involucradas. Por tanto, una transformación natural puede considerarse un "morfismo de functores". De hecho, esta intuición se puede formalizar para definir las denominadas categorías de functores . Las transformaciones naturales son, después de categorías y functores, una de las nociones más fundamentales de la teoría de categorías y, en consecuencia, aparecen en la mayoría de sus aplicaciones.
Definición
Si y son functores entre las categorías y , luego una transformación natural de a es una familia de morfismos que satisface dos requisitos.
- La transformación natural debe asociarse, a todo objeto en , un morfismo entre objetos de . El morfismose llama el componente de a .
- Los componentes deben ser tales que para cada morfismo en tenemos:
La última ecuación se puede expresar convenientemente mediante el diagrama conmutativo
Si ambos y son contravariantes , las flechas verticales en este diagrama están invertidas. Si es una transformación natural de a , también escribimos o . Esto también se expresa diciendo que la familia de los morfismoses natural en.
Si, por cada objeto en , el morfismo es un isomorfismo en, luego se dice que es un isomorfismo natural (o, a veces,equivalencia naturaloisomorfismo de functores). Dos functores y se llaman naturalmente isomorfos o simplemente isomorfos si existe un isomorfismo natural de a .
Una transformación infranatural de a es simplemente una familia de morfismos , para todos en . Así, una transformación natural es una transformación infranatural para la cual por cada morfismo . El naturalizador de, nat, es la subcategoría más grande de que contiene todos los objetos de en la que se restringe a una transformación natural.
Ejemplos de
Grupo opuesto
Declaraciones como
- "Cada grupo es naturalmente isomorfo a su grupo opuesto "
abundan en las matemáticas modernas. A continuación, daremos el significado preciso de esta declaración, así como su prueba. Considere la categoríade todos los grupos con homomorfismos de grupo como morfismos. Si es un grupo, definimos su grupo opuesto como sigue: es el mismo conjunto que , y la operación es definido por . Todas las multiplicaciones enson así "invertidos". Formar el grupo opuesto se convierte en un funtor (covariante) de a si definimos para cualquier homomorfismo de grupo . Tenga en cuenta que es de hecho un homomorfismo de grupo de a :
El contenido de la declaración anterior es:
- "El functor de identidad es naturalmente isomorfo al functor opuesto "
Para probar esto, necesitamos proporcionar isomorfismos para cada grupo , de modo que el diagrama anterior conmuta. Colocar. Las fórmulas y muestra esa es un homomorfismo de grupo con inverso . Para demostrar la naturalidad, partimos de un homomorfismo grupal. y mostrar , es decir para todos en . Esto es cierto ya que y cada homomorfismo grupal tiene la propiedad .
Abelianización
Dado un grupo , podemos definir su abelianización . Dejar denotar el mapa de proyección en las clases laterales de . Este homomorfismo es "natural en", es decir, define una transformación natural, que ahora comprobamos. Vamos ser un grupo. Para cualquier homomorfismo, tenemos eso está contenido en el núcleo de , porque cualquier homomorfismo en un grupo abeliano mata al subgrupo del conmutador. Luego factores a través de como por el homomorfismo único . Esto hace un functor y una transformación natural, pero no un isomorfismo natural, del funtor de identidad a .
Homomorfismo de Hurewicz
Los funciones y las transformaciones naturales abundan en la topología algebraica , sirviendo de ejemplo los homomorfismos de Hurewicz . Para cualquier espacio topológico puntiagudo y entero positivo existe un homomorfismo grupal
desde el -ésimo grupo de homotopía de hacia -th grupo de homología de. Ambas cosas y son functores de la categoría Top * de espacios topológicos puntiagudos a la categoría Grp of groups, y es una transformación natural de a .
Determinante
Dados anillos conmutativos y con un homomorfismo de anillo , los respectivos grupos de invertibles matrices y heredar un homomorfismo que denotamos por , obtenido aplicando a cada entrada de la matriz. Similar, se restringe a un homomorfismo grupal , dónde denota el grupo de unidades de. De echo, y son functores de la categoría de anillos conmutativos a . El determinante en el grupo, denotado por , es un homomorfismo grupal
que es natural en : porque el determinante está definido por la misma fórmula para cada anillo, sostiene. Esto hace que el determinante sea una transformación natural de a .
Doble dual de un espacio vectorial
Si es un campo , entonces para cada espacio vectorial encima tenemos un mapa lineal inyectivo "natural" del espacio vectorial a su doble dual . Estos mapas son "naturales" en el siguiente sentido: la operación doble dual es un funtor, y los mapas son los componentes de una transformación natural del funtor de identidad al funtor doble dual.
Cálculo finito
Para cada grupo abeliano , el conjunto de funciones desde los enteros hasta el conjunto subyacente de forma un grupo abeliano bajo adición puntual. (Aquíes el functor olvidadizo estándar .) Dado un morfismo , el mapa dado por izquierda componiendo con los elementos del primero es en sí mismo un homomorfismo de grupos abelianos; de esta forma obtenemos un funtor. El operador de diferencias finitas tomando cada función a es un mapa de a sí mismo, y la colección de tales mapas da una transformación natural .
Adjunción tensor-hom
Considere la categoríade grupos abelianos y homomorfismos de grupo. Para todos los grupos abelianos, y tenemos un isomorfismo de grupo
- .
Estos isomorfismos son "naturales" en el sentido de que definen una transformación natural entre los dos functores involucrados. . (Aquí "op" es la categoría opuesta de, que no debe confundirse con el trivial functor de grupo opuesto en !)
Este es formalmente el adjunto tensor-hom , y es un ejemplo arquetípico de un par de functores adjuntos . Las transformaciones naturales surgen con frecuencia junto con functores adjuntos y, de hecho, los functores adjuntos se definen por un cierto isomorfismo natural. Además, cada par de functores adjuntos viene equipado con dos transformaciones naturales (generalmente no isomorfismos) llamadas unidad y cuenta .
Isomorfismo antinatural
La noción de una transformación natural es categórica y establece (informalmente) que un mapa particular entre functores se puede hacer de manera consistente sobre una categoría completa. De manera informal, un mapa particular (especialmente un isomorfismo) entre objetos individuales (no categorías completas) se conoce como un "isomorfismo natural", lo que significa implícitamente que en realidad se define en toda la categoría y define una transformación natural de los functores; La formalización de esta intuición fue un factor motivador en el desarrollo de la teoría de categorías. A la inversa, un mapa particular entre objetos particulares puede denominarse isomorfismo antinatural (o "este isomorfismo no es natural") si el mapa no puede extenderse a una transformación natural en toda la categoría. Dado un objeto un functor (tomando por simplicidad el primer functor como la identidad) y un isomorfismo La prueba de antinaturalidad se muestra más fácilmente dando un automorfismo que no conmuta con este isomorfismo (por lo que ). Más enérgicamente, si se desea demostrar que y no son naturalmente isomorfos, sin referencia a un isomorfismo particular, esto requiere demostrar que para cualquier isomorfismo, hay algunos con el que no conmuta; en algunos casos un solo automorfismo funciona para todos los isomorfismos candidatos mientras que en otros casos uno debe mostrar cómo construir una para cada isomorfismo. Los mapas de la categoría juegan un papel crucial: cualquier transformación infranatural es natural si los únicos mapas son el mapa de identidad, por ejemplo.
Esto es similar (pero más categórico) a los conceptos de la teoría de grupos o la teoría de módulos, donde una descomposición dada de un objeto en una suma directa es "no natural", o más bien "no es única", ya que existen automorfismos que no preservan la directa. Descomposición de suma: consulte el teorema de estructura para módulos generados finitamente sobre un dominio ideal principal § Unicidad por ejemplo.
Algunos autores distinguen notationally, usando para un isomorfismo natural y para un isomorfismo antinatural, reservando para la igualdad (generalmente igualdad de mapas).
Ejemplo: grupo fundamental de toro
Como ejemplo de la distinción entre el enunciado functorial y los objetos individuales, considere los grupos de homotopía de un espacio de producto, específicamente el grupo fundamental del toro.
Los grupos de homotopía de un espacio de productos son naturalmente el producto de los grupos de homotopía de los componentes, con el isomorfismo dado por la proyección sobre los dos factores, fundamentalmente porque los mapas en un espacio de producto son exactamente productos de mapas en los componentes; esta es una declaración funcional.
Sin embargo, el toro (que es un producto abstracto de dos círculos) tiene un grupo fundamental isomorfo a, pero la escisión no es natural. Tenga en cuenta el uso de, , y : [a]
Este isomorfismo abstracto con un producto no es natural, ya que algunos isomorfismos de no preservar el producto: el auto-homeomorfismo de (pensado como el espacio del cociente ) dada por (geométricamente un giro de Dehn alrededor de una de las curvas generadoras) actúa como esta matriz en(está en el grupo lineal general de matrices enteras invertibles), que no conserva la descomposición como producto porque no es diagonal. Sin embargo, si uno recibe el toro como producto- de manera equivalente, dada una descomposición del espacio - entonces la división del grupo se deriva de la declaración general anterior. En términos categóricos, la categoría relevante (preservando la estructura de un espacio de producto) es "mapas de espacios de producto, es decir, un par de mapas entre los componentes respectivos".
La naturalidad es una noción categórica y requiere ser muy preciso sobre exactamente qué datos se dan: el toro como un espacio que resulta ser un producto (en la categoría de espacios y mapas continuos) es diferente del toro presentado como un producto (en la categoría de productos de dos espacios y mapas continuos entre los respectivos componentes).
Ejemplo: dual de un espacio vectorial de dimensión finita
Cada espacio vectorial de dimensión finita es isomorfo a su espacio dual, pero puede haber muchos isomorfismos diferentes entre los dos espacios. En general, no existe un isomorfismo natural entre un espacio vectorial de dimensión finita y su espacio dual. [1] Sin embargo, las categorías relacionadas (con estructura adicional y restricciones en los mapas) tienen un isomorfismo natural, como se describe a continuación.
El espacio dual de un espacio vectorial de dimensión finita es nuevamente un espacio vectorial de dimensión finita de la misma dimensión, y estos son, por lo tanto, isomorfos, ya que la dimensión es la única invariante de los espacios vectoriales de dimensión finita en un campo dado. Sin embargo, en ausencia de restricciones adicionales (como el requisito de que los mapas conserven la base elegida), el mapa de un espacio a su dual no es único y, por lo tanto, tal isomorfismo requiere una elección y "no es natural". En la categoría de espacios vectoriales de dimensión finita y mapas lineales, se puede definir un isomorfismo infranatural de los espacios vectoriales a su dual eligiendo un isomorfismo para cada espacio (digamos, eligiendo una base para cada espacio vectorial y tomando el isomorfismo correspondiente), pero esto no definirá una transformación natural. Intuitivamente esto es debido a que requiere una elección, con rigor, porque cualquier tales elección de isomorfismos no conmuta con, por ejemplo, el mapa de cero; ver ( MacLane & Birkhoff 1999 , §VI.4) para una discusión detallada.
A partir de espacios vectoriales de dimensión finita (como objetos) y la identidad y los functores duales, se puede definir un isomorfismo natural, pero esto requiere primero agregar una estructura adicional y luego restringir los mapas de "todos los mapas lineales" a "mapas lineales que respeten esto". estructura". Explícitamente, para cada espacio vectorial, requiere que venga con los datos de un isomorfismo a su dual,. En otras palabras, tomar como objetos espacios vectoriales con forma bilineal no degenerada . Esto define un isomorfismo infranatural (isomorfismo para cada objeto). Luego, uno restringe los mapas a solo esos mapas que conmutan con los isomorfismos: o en otras palabras, preservar la forma bilineal: . (Estos mapas definen el naturalizador de los isomorfismos.) La categoría resultante, con objetos, espacios vectoriales de dimensión finita con una forma bilineal no degenerada, y mapas de transformaciones lineales que respetan la forma bilineal, por construcción tiene un isomorfismo natural desde la identidad a la dual. (cada espacio tiene un isomorfismo a su dual, y los mapas de la categoría son necesarios para desplazarse). Visto desde esta perspectiva, esta construcción (agregar transformaciones para cada objeto, restringir los mapas para desplazarse con ellos) es completamente general y no depende de ninguna propiedad particular de los espacios vectoriales.
En esta categoría (espacios vectoriales de dimensión finita con una forma bilineal no degenerada, mapas de transformaciones lineales que respetan la forma bilineal), el dual de un mapa entre espacios vectoriales se puede identificar como una transposición . A menudo, por razones de interés geométrico, esto se especializa en una subcategoría, al requerir que las formas bilineales no degeneradas tengan propiedades adicionales, como ser simétricas ( matrices ortogonales ), simétricas y definidas positivas ( espacio de producto interno ), sesquilíneas simétricas ( espacios hermitianos ), sesgo-simétrico y totalmente isotrópico ( espacio vectorial simpléctico ), etc. - en todas estas categorías, un espacio vectorial se identifica naturalmente con su dual, por la forma bilineal no degenerada.
Operaciones con transformaciones naturales
Si y son transformaciones naturales entre functores , luego podemos componerlos para obtener una transformación natural . Esto se hace por componentes:. Esta "composición vertical" de transformación natural es asociativa y tiene una identidad, y permite considerar la colección de todos los functores.en sí mismo como una categoría (ver más abajo en Categorías de Functor ).
Las transformaciones naturales también tienen una "composición horizontal". Si es una transformación natural entre functores y es una transformación natural entre functores , entonces la composición de los functores permite una composición de transformaciones naturales . Esta operación también es asociativa con la identidad, y la identidad coincide con la de la composición vertical. Las dos operaciones están relacionadas por una identidad que intercambia composición vertical con composición horizontal.
Si es una transformación natural entre functores , y es otro functor, entonces podemos formar la transformación natural definiendo
Si por otro lado es un functor, la transformación natural es definido por
Categorías de functor
Si es cualquier categoría y es una categoría pequeña , podemos formar la categoría de functor teniendo como objetos todos los functores de a y como morfismos las transformaciones naturales entre esos functores. Esto forma una categoría ya que para cualquier functor hay una transformación natural de la identidad (que asigna a cada objeto el morfismo de la identidad en ) y la composición de dos transformaciones naturales (la "composición vertical" anterior) es de nuevo una transformación natural.
Los isomorfismos enson precisamente los isomorfismos naturales. Es decir, una transformación natural es un isomorfismo natural si y solo si existe una transformación natural tal que y .
La categoría de functor es especialmente útil si surge de un gráfico dirigido . Por ejemplo, sies la categoría del gráfico dirigido • → • , luego tiene como objetos los morfismos de , y un morfismo entre y en es un par de morfismos y en de tal manera que la "plaza conmuta", es decir .
De manera más general, se puede construir la categoría 2 cuyo
- 0-celdas (objetos) son las categorías pequeñas,
- 1 celdas (flechas) entre dos objetos y son los functores de a ,
- 2 celdas entre dos 1 celdas (functores) y son las transformaciones naturales de a .
Las composiciones horizontales y verticales son las composiciones entre transformaciones naturales descritas anteriormente. Una categoría de functor es entonces simplemente una categoría homosexual en esta categoría (dejando de lado las cuestiones de pequeñez).
Más ejemplos
Cada límite y colimit proporciona un ejemplo de una transformación natural simple, ya que un cono equivale a una transformación natural con el funtor diagonal como dominio. De hecho, si los límites y colimits se definen directamente en términos de su propiedad universal , son morfismos universales en una categoría de functor.
Lema de Yoneda
Si es un objeto de una categoría localmente pequeña , luego la tarea define un functor covariante . Este funtor se llama representable (más generalmente, un funtor representable es cualquier funtor naturalmente isomorfo a este funtor para una elección apropiada de). Las transformaciones naturales de un functor representable a un functor arbitrarioson completamente conocidos y fáciles de describir; este es el contenido del lema de Yoneda .
Notas históricas
Se dice que Saunders Mac Lane , uno de los fundadores de la teoría de categorías, comentó: "No inventé categorías para estudiar los functores; las inventé para estudiar las transformaciones naturales". [2] Así como el estudio de los grupos no está completo sin un estudio de los homomorfismos , el estudio de las categorías no está completo sin el estudio de los functores . La razón del comentario de Mac Lane es que el estudio de los functores no está completo en sí mismo sin el estudio de las transformaciones naturales.
El contexto de la observación de Mac Lane fue la teoría axiomática de la homología . Se podría demostrar que coinciden diferentes formas de construir la homología: por ejemplo, en el caso de un complejo simplicial, los grupos definidos directamente serían isomorfos a los de la teoría singular. Lo que no se puede expresar fácilmente sin el lenguaje de las transformaciones naturales es cómo los grupos de homología son compatibles con los morfismos entre objetos y cómo dos teorías de homología equivalentes no solo tienen los mismos grupos de homología, sino también los mismos morfismos entre esos grupos.
Ver también
- Transformación extranatural
- Propiedad universal
- Teoría de categorías superiores
Notas
- ^ Z n podría definirse como elproducto n veces mayor de Z , o como el producto de Z n - 1 y Z , que son conjuntos sutilmente diferentes (aunque pueden identificarse naturalmente, lo que se anotaría como ≅). Aquí hemos fijado una definición, y en cualquier caso coinciden para n = 2.
Referencias
- ↑ ( MacLane y Birkhoff 1999 , §VI.4)
- ↑ ( Mac Lane 1998 , §I.4)
- Mac Lane, Saunders (1998), Categorías para el matemático que trabaja , Textos de posgrado en matemáticas 5 (2ª ed.), Springer-Verlag, p. 16, ISBN 0-387-98403-8
- MacLane, Saunders ; Birkhoff, Garrett (1999), Álgebra (3.a ed.), AMS Chelsea Publishing, ISBN 0-8218-1646-2.
- Awodey, Steve (2010). Teoría de categorías . Oxford Nueva York: Oxford University Press. pag. 156 . ISBN 978-0199237180.
- Lane, Saunders (1992). Gavillas en geometría y lógica: una primera introducción a la teoría topos . Nueva York: Springer-Verlag. pag. 13 . ISBN 0387977104.
enlaces externos
- nLab , un proyecto wiki sobre matemáticas, física y filosofía con énfasis en el punto de vista n -categórico
- André Joyal , CatLab , un proyecto wiki dedicado a la exposición de las matemáticas categóricas
- Hillman, Chris. "Una cartilla categórica". CiteSeerX 10.1.1.24.3264 :
|url=
Introducción formal ausente o vacía ( ayuda ) a la teoría de categorías. - J. Adamek, H. Herrlich, G. Stecker, Categorías abstractas y concretas: La alegría de los gatos
- Enciclopedia de Filosofía de Stanford : " Teoría de Categorías ", por Jean-Pierre Marquis. Amplia bibliografía.
- Lista de conferencias académicas sobre teoría de categorías
- Baez, John, 1996, " The Tale of n -categories " . Una introducción informal a categorías superiores.
- WildCats es un paquete de teoría de categorías para Mathematica . Manipulación y visualización de objetos, morfismos , categorías, functores , transformaciones naturales, propiedades universales .
- The catsters , un canal de YouTube sobre teoría de categorías.
- Archivo de videos de charlas grabadas relevantes a categorías, lógica y fundamentos de la física.
- Página web interactiva que genera ejemplos de construcciones categóricas en la categoría de conjuntos finitos.