En relatividad general , los escalares ópticos se refieren a un conjunto de tres funciones escalares (expansión), (cizallamiento) y (torsión / rotación / vorticidad)que describe la propagación de una congruencia nula geodésica . [1] [2] [3] [4] [5]
De hecho, estos tres escalares se pueden definir tanto para congruencias geodésicas temporales como nulas en un espíritu idéntico, pero se denominan "escalares ópticos" sólo para el caso nulo. Además, son sus predecesores tensoriales. que se adoptan en ecuaciones tensoriales, mientras que los escalares aparecen principalmente en ecuaciones escritas en el lenguaje del formalismo de Newman-Penrose .
Definiciones: expansión, cizallamiento y torsión.Para congruencias geodésicas en forma de tiempo
Denote el campo vectorial tangente de la línea de mundo de un observador (en una congruencia temporal ) como, y luego uno podría construir "métricas espaciales" inducidas que
dónde funciona como un operador de proyección espacial. Usar para proyectar la derivada covariante de coordenadas y se obtiene el tensor auxiliar "espacial" ,
dónde representa las cuatro aceleraciones, y es puramente espacial en el sentido de que . Específicamente para un observador con una línea de tiempo geodésica, tenemos
Ahora descomponer en sus partes simétricas y antisimétricas y ,
está libre de rastros) tiempo tiene un rastro distinto de cero, . Por tanto, la parte simétrica se puede reescribir aún más en su parte sin rastro y sin rastro,
Por lo tanto, en todo lo que tenemos
Para congruencias nulas geodésicas
Ahora, considere una congruencia nula geodésica con el campo vectorial tangente. Similar a la situación temporal, también definimos
que se puede descomponer en
dónde
Aquí, las cantidades "sombreadas" se utilizan para enfatizar que estas cantidades para congruencias nulas son bidimensionales en oposición al caso temporal tridimensional. Sin embargo, si solo discutimos las congruencias nulas en un artículo, los sombreros se pueden omitir por simplicidad.
Definiciones: escalares ópticos para congruencias nulasLos escalares ópticos [1] [2] [3] [4] [5] vienen directamente de la "escalarización" de los tensores en la ecuación (9).
La expansión de una congruencia nula geodésica se define por (donde para el despeje adoptaremos otro símbolo estándar ""para denotar la derivada covariante )
Recuadro A: Comparación con las "tasas de expansión de una congruencia nula"
Como se muestra en el artículo " Tasa de expansión de una congruencia nula ", las tasas de expansión saliente y entrante, indicadas por y respectivamente, se definen por
dónde representa la métrica inducida. También, y se puede calcular a través de
dónde y son respectivamente los coeficientes de no afinidad saliente y entrante definidos por
Además, en el lenguaje del formalismo de Newman-Penrose con la convención, tenemos
Como podemos ver, para una congruencia nula geodésica, el escalar óptico juega el mismo papel con las tasas de expansión y . Por lo tanto, para una congruencia nula geodésica, será igual a cualquiera o .
La cizalladura de una congruencia nula geodésica se define por
El giro de una congruencia nula geodésica se define por
En la práctica, una congruencia nula geodésica generalmente se define por su salida () o entrante () campo de vector tangente (que también son sus normales nulas). Así, obtenemos dos conjuntos de escalares ópticos y , que se definen con respecto a y , respectivamente.
Aplicaciones en la descomposición de las ecuaciones de propagación.Por una congruencia geodésica en forma de tiempo
La propagación (o evolución) de para una congruencia geodésica a lo largo de respeta la siguiente ecuación,
Tome la traza de la ecuación (13) contrayéndola con y la ecuación (13) se convierte en
en términos de las cantidades en la ecuación (6). Además, la parte simétrica sin trazas de la ecuación (13) es
Finalmente, el componente antisimétrico de la ecuación (13) produce
Para una congruencia nula geodésica
Una congruencia nula geodésica (genérica) obedece a la siguiente ecuación de propagación,
Con las definiciones resumidas en la ecuación (9), la ecuación (14) podría reescribirse en las siguientes ecuaciones componenciales,
Para una congruencia nula geodésica restringida
Para una congruencia nula geodésica restringida en una hipersuperficie nula, tenemos
Coeficientes de espín, ecuación de Raychaudhuri y escalares ópticosPara una mejor comprensión de la sección anterior, revisaremos brevemente los significados de los coeficientes de espín NP relevantes al representar congruencias nulas . [1] La forma tensorial de la ecuación de Raychaudhuri [6] que gobierna los flujos nulos dice
dónde se define de tal manera que . Las cantidades en la ecuación de Raychaudhuri están relacionadas con los coeficientes de espín mediante
donde la ecuación (24) se sigue directamente de y
Ver tambiénReferencias- ^ a b c Eric Poisson. Juego de herramientas de un relativista: las matemáticas de la mecánica de los agujeros negros . Cambridge: Cambridge University Press, 2004. Capítulo 2.
- ↑ a b Hans Stephani, Dietrich Kramer, Malcolm MacCallum, Cornelius Hoenselaers, Eduard Herlt. Soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein . Cambridge: Cambridge University Press, 2003. Capítulo 6.
- ↑ a b Subrahmanyan Chandrasekhar. La teoría matemática de los agujeros negros . Oxford: Oxford University Press, 1998. Sección 9. (a).
- ↑ a b Jeremy Bransom Griffiths, Jiri Podolsky. Espacio-tiempos exactos en la relatividad general de Einstein . Cambridge: Cambridge University Press, 2009. Sección 2.1.3.
- ↑ a b P Schneider, J Ehlers, EE Falco. Lentes gravitacionales . Berlín: Springer, 1999. Sección 3.4.2.
- ^ Sayan Kar, Soumitra SenGupta. Las ecuaciones de Raychaudhuri: una breve revisión . Pramana, 2007, 69 (1): 49-76. [arxiv.org/abs/gr-qc/0611123v1 gr-qc / 0611123]