En relatividad general , una congruencia (más propiamente, una congruencia de curvas ) es el conjunto de curvas integrales de un campo vectorial (que no desaparece en ninguna parte) en una variedad Lorentziana de cuatro dimensiones que se interpreta físicamente como un modelo de espacio-tiempo . A menudo, esta variedad se considerará una solución exacta o aproximada de la ecuación de campo de Einstein .
Tipos de congruencias
Las congruencias generadas por campos vectoriales de tipo temporal , nulos o espaciales que no desaparecen en ninguna parte se denominan temporales , nulos o espaciales, respectivamente.
Una congruencia se llama congruencia geodésica si admite un campo vectorial tangente con derivada covariante que desaparece ,.
Relación con campos vectoriales
Las curvas integrales del campo vectorial son una familia de curvas parametrizadas que no se cruzan y que llenan el espacio-tiempo. La congruencia se compone de las propias curvas, sin referencia a una parametrización particular. Muchos campos vectoriales distintos pueden dar lugar a la misma congruencia de curvas, ya que si es una función escalar que desaparece en ninguna parte, entonces y dan lugar a la misma congruencia.
Sin embargo, en una variedad de Lorentz, tenemos un tensor métrico , que selecciona un campo vectorial preferido entre los campos vectoriales que están en todas partes paralelas a un campo vectorial similar a tiempo o espacio dado, es decir, el campo de vectores tangentes a las curvas. Estos son campos vectoriales unitarios similares a tiempo o espaciales, respectivamente .
Interpretación física
En la relatividad general, una congruencia temporal en una variedad Lorentziana de cuatro dimensiones puede interpretarse como una familia de líneas de mundo de ciertos observadores ideales en nuestro espacio-tiempo. En particular, una congruencia geodésica similar a un tiempo se puede interpretar como una familia de partículas de prueba en caída libre .
Las congruencias nulas también son importantes, particularmente las congruencias geodésicas nulas , que pueden interpretarse como una familia de rayos de luz que se propagan libremente.
Advertencia: la línea mundial de un pulso de luz que se mueve en un cable de fibra óptica no sería en general una geodésica nula, y la luz en el universo muy temprano (la época dominada por la radiación ) no se propagaba libremente. Sin embargo, la línea mundial de un pulso de radar enviado desde la Tierra más allá del Sol hasta Venus se modelaría como un arco geodésico nulo. En dimensiones distintas a cuatro, la relación entre geodésicas nulas y "luz" ya no se cumple: si "luz" se define como la solución a la ecuación de onda de Laplacia , entonces el propagador tiene componentes nulos y similares al tiempo en un espacio-tiempo impar. dimensiones, y ya no es una función delta de Dirac pura incluso en dimensiones de espacio-tiempo superiores a cuatro.
Descripción cinemática
Describir el movimiento mutuo de las partículas de prueba en una congruencia geodésica nula en un espacio-tiempo como el vacío de Schwarzschild o el polvo FRW es un problema muy importante en la relatividad general. Se resuelve definiendo ciertas cantidades cinemáticas que describen completamente cómo las curvas integrales en una congruencia pueden converger (divergir) o retorcerse entre sí.
Debe enfatizarse que la descomposición cinemática que estamos a punto de describir es matemática pura válida para cualquier variedad de Lorentz. Sin embargo, la interpretación física en términos de partículas de prueba y aceleraciones de marea (para congruencias geodésicas temporales) o lápices de rayos de luz (para congruencias geodésicas nulas) es válida solo para la relatividad general (interpretaciones similares pueden ser válidas en teorías estrechamente relacionadas).
La descomposición cinemática de una congruencia temporal
Considere la congruencia temporal generada por algún campo vectorial unitario X temporal , que deberíamos considerar como un operador diferencial parcial lineal de primer orden. Entonces los componentes de nuestro campo vectorial son ahora funciones escalares dadas en notación tensorial escribiendo, donde f es una función suave arbitraria. El vector de aceleración es la derivada covariante ; podemos escribir sus componentes en notación tensorial como
A continuación, observe que la ecuación
significa que el término entre paréntesis a la izquierda es la parte transversal de. Esta relación de ortogonalidad se mantiene solo cuando X es un vector unitario similar al tiempo de un múltiple de Lorentz . No se sostiene en un entorno más general. Escribir
para el tensor de proyección que proyecta tensores en sus partes transversales; por ejemplo, la parte transversal de un vector es la parte ortogonal a. Este tensor puede verse como el tensor métrico de la hipersuperficie cuyos vectores tangentes son ortogonales a X. Así hemos demostrado que
A continuación, descomponemos esto en sus partes simétricas y antisimétricas,
Aquí,
se conocen como tensor de expansión y tensor de vorticidad, respectivamente.
Debido a que estos tensores viven en los elementos espaciales del hiperplano ortogonales a , podemos pensar en ellos como tensores tridimensionales de segundo rango. Esto se puede expresar de manera más rigurosa utilizando la noción de derivada de Fermi . Por lo tanto, podemos descomponer el tensor de expansión en su parte sin rastro más una parte con rastro . Escribiendo el rastro como, tenemos
Debido a que el tensor de vorticidad es antisimétrico, sus componentes diagonales desaparecen, por lo que automáticamente no tiene trazas (y podemos reemplazarlo con un vector tridimensional , aunque no lo haremos). Por lo tanto, ahora tenemos
Esta es la descomposición cinemática deseada . En el caso de una congruencia geodésica temporal , el último término desaparece de manera idéntica.
El escalar de expansión, tensor de corte (), y el tensor de vorticidad de una congruencia geodésica temporal tienen el siguiente significado intuitivo:
- el escalar de expansión representa la tasa fraccional a la que cambia el volumen de una pequeña nube inicialmente esférica de partículas de prueba con respecto al tiempo adecuado de la partícula en el centro de la nube,
- el tensor de corte representa cualquier tendencia de la esfera inicial a distorsionarse en una forma elipsoidal,
- el tensor de vorticidad representa cualquier tendencia de la esfera inicial a rotar; la vorticidad se desvanece si y solo si las líneas del mundo en la congruencia son en todas partes ortogonales a las hipersuperficies espaciales en alguna foliación del espacio-tiempo, en cuyo caso, para un gráfico de coordenadas adecuado, cada hiperabanda se puede considerar como una superficie de 'tiempo constante' .
Consulte las citas y los enlaces a continuación para ver la justificación de estas afirmaciones.
Curvatura y congruencias temporales
Por la identidad de Ricci (que se usa a menudo como la definición del tensor de Riemann ), podemos escribir
Al colocar la descomposición cinemática en el lado izquierdo, podemos establecer relaciones entre el tensor de curvatura y el comportamiento cinemático de congruencias temporales (geodésicas o no). Estas relaciones se pueden utilizar de dos formas, ambas muy importantes:
- podemos (en principio) determinar experimentalmente el tensor de curvatura de un espacio-tiempo a partir de observaciones detalladas del comportamiento cinemático de cualquier congruencia temporal (geodésica o no),
- podemos obtener ecuaciones de evolución para las piezas de la descomposición cinemática ( escalar de expansión , tensor de cizallamiento y tensor de vorticidad ) que presentan acoplamiento de curvatura directo .
En el famoso lema de John Archibald Wheeler ,
El espacio-tiempo le dice a la materia cómo moverse; la materia le dice al espacio-tiempo cómo curvarse.
Veamos ahora cómo cuantificar con precisión la primera parte de esta afirmación; la ecuación de campo de Einstein cuantifica la segunda parte.
En particular, de acuerdo con la descomposición de Bel del tensor de Riemann, tomado con respecto a nuestro campo vectorial unitario temporal, el tensor electrogravítico (o tensor de mareas ) se define por
La identidad de Ricci ahora da
Conectando la descomposición cinemática, eventualmente podemos obtener
Aquí, los sobrepuntos denotan diferenciación con respecto al tiempo adecuado , contado a lo largo de nuestra congruencia temporal (es decir, tomamos la derivada covariante con respecto al campo vectorial X). Esto puede considerarse como una descripción de cómo se puede determinar el tensor de mareas a partir de observaciones de una sola congruencia temporal.
Ecuaciones de evolución
En esta sección, pasamos al problema de la obtención de ecuaciones de evolución (también llamadas ecuaciones de propagación o fórmulas de propagación ).
Será conveniente escribir el vector de aceleración como y también para establecer
Ahora de la identidad de Ricci para el tensor de mareas tenemos
Pero
entonces tenemos
Al agregar la definición de y tomando respectivamente la parte diagonal, la parte simétrica sin trazas y la parte antisimétrica de esta ecuación, obtenemos las ecuaciones de evolución deseadas para el escalar de expansión, el tensor de corte y el tensor de vorticidad.
Considere primero el caso más fácil cuando el vector de aceleración desaparece. Entonces (observando que el tensor de proyección puede usarse para reducir índices de cantidades puramente espaciales), tenemos
o
Por álgebra lineal elemental, se verifica fácilmente que si son respectivamente operadores lineales simétricos y antisimétricos tridimensionales, entonces es simétrico mientras es antisimétrica, por lo que al reducir un índice, las combinaciones correspondientes entre paréntesis anteriores son simétricas y antisimétricas, respectivamente. Por lo tanto, tomar la traza da la ecuación de Raychaudhuri (para geodésicas de tipo temporal):
Tomando la parte simétrica sin rastro da
y tomando la parte antisimétrica da
Aquí,
son invariantes cuadráticas que nunca son negativas, de modo que son invariantes reales bien definidos. La traza del tensor de mareas también se puede escribir
A veces se le llama escalar de Raychaudhuri ; no hace falta decir que desaparece de forma idéntica en el caso de una solución de vacío .
Ver también
- congruencia (múltiples)
- expansión escalar
- tensor de expansión
- tensor de corte
- tensor de vorticidad
- Ecuación de Raychaudhuri
Referencias
- Poisson, Eric (2004). Juego de herramientas de un relativista: las matemáticas de la mecánica de los agujeros negros . Cambridge: Cambridge University Press. Bibcode : 2004rtmb.book ..... P . ISBN 978-0-521-83091-1.Consulte el capítulo 2 para obtener una excelente y detallada introducción a las congruencias geodésicas. La discusión de Poisson sobre las congruencias geodésicas nulas es particularmente valiosa.
- Carroll, Sean M. (2004). Espacio-tiempo y geometría: una introducción a la relatividad general . San Francisco: Addison-Wesley. ISBN 978-0-8053-8732-2.Consulte el apéndice F para obtener una buena discusión elemental de las congruencias geodésicas. (La notación de Carroll no es estándar. [ Cita requerida ] )
- Stephani, Hans; Kramer, Dietrich; MacCallum, Malcolm; Hoenselaers, Cornelius; Herlt, Eduard (2003). Soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein (2ª ed.) . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-46136-8.Consulte el capítulo 6 para obtener una introducción muy detallada a las congruencias nulas y temporales.
- Wald, Robert M. (1984). Relatividad general . Chicago: Prensa de la Universidad de Chicago. ISBN 978-0-226-87033-5.Consulte la sección 9.2 para conocer la cinemática de congruencias geodésicas temporales.
- Hawking, Stephen; Ellis, GFR (1973). La estructura a gran escala del espacio-tiempo . Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-09906-6.Consulte la sección 4.1 para conocer la cinemática de congruencias nulas y temporales.
- Dasgupta, Anirvan; Nandan, Hemwati; Kar, Sayan (2009). "Cinemática de flujos sobre soportes curvos deformables". Revista Internacional de Métodos Geométricos en Física Moderna . 6 (4): 645–666. arXiv : 0804.4089 . Código Bibliográfico : 2009IJGMM..06..645D . doi : 10.1142 / S0219887809003746 . Consulte para obtener una introducción detallada a la cinemática de los flujos geodésicos en superficies curvas bidimensionales específicas (es decir, esfera, espacio hiperbólico y toro).