Orden dual (análisis funcional)

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En matemáticas, específicamente en teoría del orden y análisis funcional , el orden dual de un espacio vectorial ordenado es el conjunto donde denota el conjunto de todos los funcionales lineales positivos sobre , donde una función lineal sobre se llama positiva si para todos implica ^[1] El orden dual de se denota por . Junto con el concepto relacionado del dual acotado de orden , este espacio juega un papel importante en la teoría de los espacios vectoriales topológicos ordenados . ${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {Pos} \left(X^{*}\right)-\operatorname {Pos} \left(X^{*}\right)}$${\displaystyle \operatorname {Pos} \left(X^{*}\right)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X,}$ ${\displaystyle x\geq 0}$${\displaystyle f(x)\geq 0.}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X^{+}}$

Un elemento del orden dual de se llama positivo si implica que los elementos positivos del orden dual forman un cono que induce un ordenamiento llamado ordenamiento canónico . Si es un espacio vectorial ordenado cuyo cono positivo es generador (es decir, ) entonces el orden dual con el ordenamiento canónico es un espacio vectorial ordenado. ^[1] El orden dual es el lapso del conjunto de funcionales lineales positivos en . ^[1]${\displaystyle f}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\geq 0}$${\displaystyle \operatorname {Re} f(x)\geq 0.}$${\displaystyle X^{+}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle C}$${\displaystyle X=C-C}$${\displaystyle X}$

El orden dual está contenido en el orden acotado dual . ^[1] Si el cono positivo de un espacio vectorial ordenado es generador y se cumple para todo positivo y , entonces el dual de orden es igual al dual acotado de orden, que es un retículo vectorial completo de orden bajo su ordenación canónica. ^[1]${\displaystyle X}$${\displaystyle [0,x]+[0,y]=[0,x+y]}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

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