En matemáticas , un espacio vectorial ordenado o un espacio vectorial parcialmente ordenado es un espacio vectorial equipado con un orden parcial que es compatible con las operaciones del espacio vectorial.
Definición
Dado un espacio vectorial X sobre los números reales R y un preorden ≤ en el conjunto X , el par ( X , ≤) se denomina espacio vectorial preordenado y decimos que el preorden ≤ es compatible con la estructura del espacio vectorial de X y llamamos ≤ un vector preordenado en X si para todo x , y , z en X y 0 ≤ λ en se satisfacen los dos axiomas siguientes
- x ≤ y implica x + z ≤ y + z
- y ≤ x implica λy ≤ λx .
Si ≤ es un orden parcial compatible con la estructura de vector espacial de X entonces ( X , ≤) se llama un espacio vectorial ordenado y ≤ se llama un orden parcial vector en X . Los dos axiomas implican que las traducciones y las homotecias positivas son automorfismos de la estructura de orden y el mapeo x ↦ - x es un isomorfismo a la estructura de orden dual . Los espacios vectoriales ordenados son grupos ordenados bajo su operación de adición. Tenga en cuenta que x ≤ y si y solo si - y ≤ - x .
Conos positivos y su equivalencia con los pedidos.
Un subconjunto C de un espacio vectorial X se llama un cono si para todo verdadero r > 0, rC ⊆ C . Un cono se llama puntiagudo si contiene el origen. Un cono de C es convexo si y sólo si C + C ⊆ C . La intersección de cualquier familia de conos no vacíos (resp. Conos convexos) es nuevamente un cono (resp. Cono convexo); lo mismo es cierto de la unión de una creciente (bajo inclusión conjunto ) de la familia de los conos (resp. convexa conos). Un cono de C en un espacio vectorial X se dice que está generando si X = C - C . [1] Un cono positivo se genera si y solo si es un conjunto dirigido por debajo de ≤.
Dado un espacio vectorial preordenado X , el subconjunto X + de todos los elementos x en ( X , ≤) que satisfacen x ≥ 0 es un cono convexo puntiagudo con vértice 0 (es decir, contiene 0) llamado cono positivo de X y denotado por. Los elementos del cono positivo se llaman positivos . Si x y y son elementos de un espacio vectorial preordered ( X , ≤), entonces x ≤ y si y sólo si y - x ∈ X + . Dado cualquier cono convexo puntiagudo C con vértice 0, se puede definir un preorden ≤ en X que sea compatible con la estructura del espacio vectorial de X declarando para todo x e y en X , que x ≤ y si y solo si y - x ∈ C ; el cono positivo de este espacio vectorial preordenado resultante es C . Por tanto, existe una correspondencia de uno-a-uno entre los conos convexos puntiagudos con vértice 0 y el vector de pre-ordenes en X . [1] Si X está preordenado, entonces podemos formar una relación de equivalencia en X definiendo x es equivalente ay si y solo si x ≤ y e y ≤ x ; si N es la clase de equivalencia que contiene el origen, entonces N es un subespacio vectorial de X y X / N es un espacio vectorial ordenado bajo la relación: A ≤ B si y solo existe a en A y b en B tal que a ≤ b . [1]
Un subconjunto de C de un espacio vectorial X se llama cono propio si es un cono convexo de vértice 0 que satisface C ∩ (- C ) = {0}. Explícitamente, C es un cono propio si (1) C + C ⊆ C , (2) rC ⊆ C para todo r > 0, y (3) C ∩ (- C ) = {0}. [2] La intersección de cualquier familia no vacía de conos propios es de nuevo un cono propio. Cada cono adecuada C en un espacio real vector induce una orden en el espacio vectorial mediante la definición de x ≤ y si y sólo si y - x ∈ C , y además, el cono positivo de este espacio vectorial ordenado será C . Por lo tanto, existe una correspondencia de uno-a-uno entre los conos convexos adecuados de X y las órdenes parciales del vector en X .
Por un orden total del vector en X nos referimos a un orden total en X que es compatible con la estructura de espacio vectorial X . La familia de ordenamientos vectoriales totales en un espacio vectorial X está en correspondencia uno a uno con la familia de todos los conos propios que son máximos en la inclusión de conjuntos. [1] Un ordenamiento vectorial total no puede ser de Arquímedes si su dimensión , cuando se considera un espacio vectorial sobre los reales, es mayor que 1. [1]
Si R y S son dos ordenamientos de un espacio vectorial con conos positivas P y Q , respectivamente, entonces se dice que R es más fino que el S si P ⊆ Q . [2]
Ejemplos de
Los números reales con el orden habitual forman un espacio vectorial totalmente ordenado. Para todos los enteros n ≥ 0, el espacio euclidiano ℝ n considerado como un espacio vectorial sobre los reales con el orden lexicográfico forma un espacio vectorial preordenado cuyo orden es de Arquímedes si y solo si n = 0 o 1. [3]
Orden puntual
Si S es cualquier conjunto y si X es un espacio vectorial (sobre los reales) de funciones con valores reales en S , entonces el orden puntual en X viene dado por, para todo f , g ∈ X , f ≤ g si y solo si f ( s ) ≤ g ( s ) para todas las s en S . [3]
Los espacios a los que normalmente se les asigna este orden incluyen:
- la 𝓁 espacio ∞ ( S , ℝ) de delimitadas mapas valores reales-en S .
- el espacio c 0 (ℝ) de secuencias de valores reales que convergen a 0.
- el espacio C ( S , ℝ) de continuas funciones valores reales-en un espacio topológico S .
- para cualquier entero no negativo n , el espacio euclidiano ℝ n cuando se considera como el espacio C ({1, ..., n }, ℝ) donde S = {1, ..., n } recibe la topología discreta .
El espacio de todos los mapas medibles con valor real acotado en casi todas partes en ℝ, donde el preorden se define para todo f , g ∈por f ≤ g si y solo si f ( s ) ≤ g ( s ) casi en todas partes. [3]
Intervalos y orden enlazado dual
Un intervalo de orden en un espacio vectorial preordenado se establece de la forma
- [ a , b ] = { x : a ≤ x ≤ b },
- [ a , b [= { x : a ≤ x < b },
- ] a , b ] = { x : a < x ≤ b }, o
- ] a , b [= { x : a < x < b }.
De los axiomas 1 y 2 anteriores se deduce que x , y ∈ [ a , b ] y 0 <λ <1 implica λ x + (1 - λ ) y en [ a , b ]; por tanto, estos intervalos de orden son convexos. Se dice que un subconjunto tiene un orden limitado si está contenido en algún intervalo de orden. [2] En un espacio vectorial real preordenado, si para x ≥ 0, entonces el intervalo de la forma [- x , x ] está equilibrado . [2] Una unidad de orden de un espacio vectorial preordenado es cualquier elemento x tal que el conjunto [- x , x ] está absorbiendo . [2]
El conjunto de todos los funcionales lineales en un espacio vectorial preordenado X que mapea cada intervalo de orden en un conjunto acotado se denomina dual de orden acotado de X y se denota por X b . [2] Si un espacio está ordenado, entonces su doble ligado al orden es un subespacio vectorial de su dual algebraico .
Un subconjunto A de un espacio vectorial ordenado X se llama orden completo si para cada subconjunto no vacío B ⊆ A tal que B es el orden acotado en A , ambos y existen y son elementos de A . Decimos que un espacio vectorial ordenada X es completo orden es X es un subconjunto completo orden de X . [4]
Ejemplos de
Si ( X , ≤) es un espacio vectorial preordenado sobre los reales con unidad de orden u , entonces el mapaes un funcional sublineal . [3]
Propiedades
Si X es un espacio vectorial preordenado, entonces para todo x , y ∈ X ,
- x ≥ 0 y y ≥ 0 implican que x + y ≥ 0. [3]
- x ≤ y si y solo si - y ≤ - x . [3]
- x ≤ y y r <0 implican rx ≥ ry . [3]
- x ≤ y si y solo si y = sup { x , y } si y solo si x = inf { x , y }. [3]
- sup { x , y } existe si y solo si existe inf {- x , - y }, en cuyo caso inf {- x , - y } = −sup { x , y }. [3]
- sup { x , y } existe si y solo si existe inf { x , y }, en cuyo caso para todo z ∈ X , [3]
- sup { x + z , y + z } = z + sup { x , y }, y
- inf { x + z , y + z } = z + inf { x , y }
- x + y = inf { x , y } + sup { x , y }.
- X es un vector de la red si y sólo si sup {0, x } existe para todas las x en X . [3]
Espacios de mapas lineales
Se dice que un cono C se genera si C - C es igual a todo el espacio vectorial. [2] Si X y W son dos espacios vectoriales ordenados no triviales con conos positivos respectivos P y Q , entonces P genera en X si y solo si el conjuntoes un cono adecuado en L ( X ; W ), que es el espacio de todos los mapas lineales de X en W . En este caso, la ordenación definida por C se denomina ordenación canónica de L ( X ; W ). [2] Más generalmente, si M es cualquier vector de subespacio de L ( X ; W ) tal que C ∩ M es un cono adecuado, el orden definido por C ∩ M se llama el orden canónico de M . [2]
Funcionales positivos y el orden dual
Una función lineal f en un espacio vectorial preordenado se llama positiva si satisface cualquiera de las siguientes condiciones equivalentes:
- x ≥ 0 implica f ( x ) ≥ 0.
- si x ≤ y entonces f ( x ) ≤ f ( y ). [3]
El conjunto de todas las formas lineales positivas en un espacio vectorial con cono positivo C , llamado cono dual y denotado por, Es un cono igual a la polar de - C . El preorden inducido por el cono dual en el espacio de funcionales lineales en X se denomina preorden dual . [3]
El orden dual de un espacio vectorial ordenado X es el conjunto, denotado por, definido por . Aunque, existen espacios vectoriales ordenados para los que no se cumple la igualdad de conjuntos . [2]
Tipos especiales de espacios vectoriales ordenados
Sea X un espacio vectorial ordenado. Decimos que un espacio vectorial ordenado X es el ordenado de Arquímedes y que el orden de X es de Arquímedes si siempre que x en X es tal queestá mayorizado (es decir, existe algo de y en X tal que nx ≤ y para todos) entonces x ≤ 0 . [2] Un espacio vectorial topológico (TVS) que es un espacio vectorial ordenado es necesariamente de Arquímedes si su cono positivo es cerrado. [2]
Se dice que un espacio vectorial preordenado X se ordenó regularmente y que su orden es normal si se trata de Arquímedes ordenado y X + distingue puntos en X . [2] Esta propiedad garantiza que existen suficientes formas lineales positivas para poder utilizar con éxito las herramientas de la dualidad para estudiar espacios vectoriales ordenados. [2]
Un espacio vectorial ordenado se llama un vector reticular si para todos los elementos x y y , el supremo sup ( x , y ) y infimum inf ( x , y ) existen. [2]
Subespacios, cocientes y productos
Sea X un espacio vectorial preordenado con un cono C positivo .
- Subespacios
Si M es un subespacio vectorial de X, entonces el orden canónico en M inducido por el cono positivo C de X es el orden parcial inducido por el cono convexo puntiagudo C ∩ M , donde este cono es propio si C es propio. [2]
- Espacio cociente
Sea M un subespacio vectorial de un espacio vectorial ordenado X , ser la proyección canónica, y dejar . Luegoes un cono en X / M que induce una preordering canónica en el espacio cociente X / M . Sies un cono adecuado en X / M entoncesconvierte X / M en un espacio vectorial ordenado. [2] Si M está saturado en C, entoncesdefine el orden canónico de X / M . [1] Tenga en cuenta que proporciona un ejemplo de un espacio vectorial ordenado donde no es un cono adecuado.
Si X es también un espacio vectorial topológico (TVS) y si para cada vecindario V de 0 en X existe un vecindario U de 0 tal que [( U + N ) ∩ C] ⊆ V + N entonceses un cono normal para la topología del cociente. [1]
Si X es una red de vectores topológicos y M es una subred sólida cerrada de X, entonces X / L es también una red de vectores topológicos. [1]
- Producto
Si S es cualquier conjunto, entonces el espacio X S de todas las funciones de S a X está ordenado canónicamente por el cono adecuado. [2]
Suponer que es una familia de espacios vectoriales preordenados y que el cono positivo de es . Luego es un cono convexo puntiagudo en , que determina un ordenamiento canónico en ; C es un cono adecuado si todosson conos adecuados. [2]
- Suma directa algebraica
La suma directa algebraica de es un subespacio vectorial de que se le da el orden canónico subespacial heredado de . [2] Si X 1 , ..., X n son subespacios vectoriales ordenados de un espacio vectorial ordenado X entonces X es la suma directa ordenada de estos subespacios si el isomorfismo algebraico canónico de X sobre(con el orden de producto canónico) es un isomorfismo de orden . [2]
Ejemplos de
- Los números reales con el orden habitual es un espacio vectorial ordenado.
- R 2 es un espacio vectorial ordenado con la relación ≤ definida en cualquiera de las siguientes formas (en orden de fuerza creciente, es decir, conjuntos decrecientes de pares):
- Orden lexicográfico : ( a , b ) ≤ ( c , d ) si y solo si a < c o ( a = c y b ≤ d ). Este es un pedido total . El cono positivo está dado por x > 0 o ( x = 0 e y ≥ 0 ), es decir, en coordenadas polares , el conjunto de puntos con la coordenada angular satisface - π / 2 < θ ≤ π / 2 , junto con el origen .
- ( Un , b ) ≤ ( c , d ) si y sólo si una ≤ c y b ≤ d (la orden de producto de dos copias de R con "≤"). Este es un pedido parcial. El cono positivo viene dado por x ≥ 0 e y ≥ 0 , es decir, en coordenadas polares 0 ≤ θ ≤ π / 2 , junto con el origen.
- ( a , b ) ≤ ( c , d ) si y solo si ( a < c y b < d ) o ( a = c y b = d ) (el cierre reflexivo del producto directo de dos copias de R con "< "). Este también es un pedido parcial. El cono positivo viene dado por ( x > 0 e y > 0 ) o ( x = y = 0 ), es decir, en coordenadas polares, 0 < θ < π / 2 , junto con el origen.
- Sólo el segundo orden es, como subconjunto de R 4 , cerrado; ver órdenes parciales en espacios topológicos .
- Para el tercer orden, los " intervalos " bidimensionales p < x < q son conjuntos abiertos que generan la topología.
- R n es un espacio vectorial ordenado con la relación ≤ definida de manera similar. Por ejemplo, para el segundo pedido mencionado anteriormente:
- x ≤ y si y solo si x i ≤ y i para i = 1, ..., n .
- Un espacio de Riesz es un espacio vectorial ordenado donde el orden da lugar a una celosía .
- El espacio de funciones continuas en [0, 1] donde f ≤ g si f ( x ) ≤ g ( x ) para todo x en [0, 1] .
Ver también
- Espacio vectorial topológico ordenado
- Topología de pedidos (análisis funcional)
- Espacio parcialmente ordenado
- Espacio Riesz
- Celosía de vectores topológicos
- Celosía de vector
- Orden de producto
Referencias
- ↑ a b c d e f g h Schaefer y Wolff 1999 , págs. 250-257.
- ^ a b c d e f g h i j k l m n o p q r s t u Schaefer y Wolff 1999 , págs. 205–209.
- ↑ a b c d e f g h i j k l m Narici y Beckenstein 2011 , págs. 139-153.
- ^ Schaefer y Wolff 1999 , págs. 204-214.
Bibliografía
- Aliprantis, Charalambos D ; Burkinshaw, Owen (2003). Espacios de Riesz localmente sólidos con aplicaciones a la economía (Segunda ed.). Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense. ISBN 0-8218-3408-8.
- Bourbaki, Nicolas ; Elementos de las matemáticas: espacios vectoriales topológicos ; ISBN 0-387-13627-4 .
- Narici, Lawrence ; Beckenstein, Edward (2011). Espacios vectoriales topológicos . Matemáticas puras y aplicadas (Segunda ed.). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834 .
- Schaefer, Helmut H .; Wolff, Manfred P. (1999). Espacios vectoriales topológicos . GTM . 8 (Segunda ed.). Nueva York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135 .
- Wong (1979). Espacios de Schwartz, espacios nucleares y productos tensoriales . Berlín Nueva York: Springer-Verlag. ISBN 3-540-09513-6. OCLC 5126158 .