Pedido débil
En matemáticas , especialmente en teoría del orden , una ordenación débil es una formalización matemática de la noción intuitiva de una clasificación de un conjunto , algunos de cuyos miembros pueden estar vinculados entre sí. Los órdenes débiles son una generalización de conjuntos totalmente ordenados (rankings sin empates) y son a su vez generalizados por conjuntos parcialmente ordenados y preordenes . [1]
Hay varias formas comunes de formalizar ordenamientos débiles, que son diferentes entre sí pero criptomórficos (interconvertibles sin pérdida de información): se pueden axiomatizar como ordenamientos débiles estrictos (conjuntos parcialmente ordenados en los que la incomparabilidad es una relación transitiva ), como ordenamientos totales preórdenes (relaciones binarias transitivas en las que existe al menos una de las dos relaciones posibles entre cada par de elementos), o como particiones ordenadas ( particiones de los elementos en subconjuntos disjuntos, junto con un orden total sobre los subconjuntos). En muchos casos otra representación llamada arreglo preferencial basado en una función de utilidad también es posible.
Los pedidos débiles se cuentan por los números de Bell ordenados . Se utilizan en informática como parte de los algoritmos de refinamiento de particiones y en la biblioteca estándar de C++ . [2]
En las carreras de caballos , el uso de foto finish ha eliminado algunos, pero no todos, los empates o (como se les llama en este contexto) empates , por lo que el resultado de una carrera de caballos puede estar modelado por una ordenación débil. [3] En un ejemplo de la carrera de obstáculos de la Maryland Hunt Cup en 2007, The Bruce fue el claro ganador, pero dos caballos Bug River y Lear Charm empataron en el segundo lugar, con los caballos restantes más atrás; tres caballos no terminaron. [4] En el orden débil que describe este resultado, The Bruce sería el primero, Bug River y Lear Charm estarían clasificados después de The Bruce pero antes que todos los demás caballos que terminaron, y los tres caballos que no terminaron se colocarían últimos en el orden pero atados entre sí.
Los puntos del plano euclidiano pueden ordenarse por su distancia desde el origen , dando otro ejemplo de una ordenación débil con infinitos elementos, infinitos subconjuntos de elementos atados (los conjuntos de puntos que pertenecen a un círculo común centrado en el origen) , e infinitos puntos dentro de estos subconjuntos. Aunque esta ordenación tiene un elemento más pequeño (el origen mismo), no tiene ningún segundo elemento más pequeño ni ningún elemento más grande.
Las encuestas de opinión en las elecciones políticas proporcionan un ejemplo de un tipo de ordenamiento que se parece a los ordenamientos débiles, pero se modela mejor matemáticamente de otras formas. En los resultados de una encuesta, un candidato puede estar claramente por delante de otro, o los dos candidatos pueden estar empatados estadísticamente, lo que significa que los resultados de la encuesta no son iguales, sino que están dentro del margen de error del otro. Sin embargo, si el candidato está estadísticamente empatado con y estadísticamente empatado con , aún es posible que sea claramente mejor que , por lo que estar empatado no es en este caso una relación transitiva . Debido a esta posibilidad, las clasificaciones de este tipo se modelan mejor como semiórdenes.que como órdenes débiles. [5]
