Número ordinal
En la teoría de conjuntos , un número ordinal , u ordinal , es una generalización de números ordinales (primero, segundo, enésimo , etc.) destinada a extender la enumeración a conjuntos infinitos . [1]
Un proceso de enumeración de una colección finita consiste en etiquetar sucesivamente cada elemento con el menor número natural que no haya sido utilizado previamente. Para extender el proceso a un conjunto infinito , uno puede definir los números ordinales como etiquetas ordenadas linealmente que contienen los números naturales y tienen la propiedad de que cada conjunto de ordinales tiene un elemento mínimo (esto es necesario para dar un significado a "el elemento menos no utilizado "). [2]
Un orden lineal tal que cada subconjunto tiene un elemento mínimo se llama orden de pozo . El axioma de elección implica que todo conjunto puede estar bien ordenado y, dados dos conjuntos bien ordenados, uno es isomorfo a un segmento inicial del otro. Entonces, los números ordinales existen y son esencialmente únicos.
Los números ordinales son distintos de los números cardinales , que miden el tamaño de los conjuntos. Aunque la distinción entre ordinales y cardinales no siempre es evidente en conjuntos finitos (se puede pasar de uno a otro simplemente contando etiquetas), son muy diferentes en el caso infinito, donde diferentes ordinales infinitos pueden corresponder a conjuntos que tienen el mismo cardinal. . Al igual que otros tipos de números, los ordinales se pueden sumar, multiplicar y exponenciar , aunque ninguna de estas operaciones es conmutativa.
Los ordinales fueron introducidos por Georg Cantor en 1883 [3] para acomodar secuencias infinitas y clasificar conjuntos derivados , que había introducido previamente en 1872, mientras estudiaba la unicidad de las series trigonométricas . [4]
Un número natural (que, en este contexto, incluye el número 0 ) puede usarse para dos propósitos: para describir el tamaño de un conjunto o para describir la posición de un elemento en una secuencia. Cuando se restringe a conjuntos finitos, estos dos conceptos coinciden, y solo hay una forma de poner un conjunto finito en una secuencia lineal ( hasta el isomorfismo ). Sin embargo, cuando se trata de conjuntos infinitos, hay que distinguir entre la noción de tamaño, que conduce a los números cardinales , y la noción de posición, que conduce a los números ordinales descritos aquí. Esto se debe a que, si bien cualquier conjunto tiene un solo tamaño (su cardinalidad), hay muchos buenos ordenamientos no isomorfos de cualquier conjunto infinito, como se explica a continuación.
