Casco convexo ortogonal
En geometría , un conjunto K ⊂ R d se define como ortogonalmente convexo si, para cada línea L que es paralela a uno de los vectores base estándar , la intersección de K con L está vacía, es un punto o un solo segmento . El término "ortogonal" se refiere a la base cartesiana correspondiente y las coordenadas en el espacio euclidiano , donde los diferentes vectores de base son perpendiculares , así como las líneas correspondientes. A diferencia de los conjuntos convexos ordinarios , un conjunto ortogonalmente convexo no es necesariamenteconectado _
El casco convexo ortogonal de un conjunto K ⊂ R d es la intersección de todos los superconjuntos ortogonalmente convexos conectados de K .
Estas definiciones se hacen por analogía con la teoría clásica de la convexidad, en la que K es convexa si, para cada línea L , la intersección de K con L es un punto o un segmento vacío. La convexidad ortogonal restringe las líneas para las que se requiere que se mantenga esta propiedad, por lo que cada conjunto convexo es ortogonalmente convexo pero no viceversa. Por la misma razón, la propia envolvente convexa ortogonal es un subconjunto de la envolvente convexa del mismo conjunto de puntos. Un punto p pertenece a la envolvente convexa ortogonal de K si y solo si cada una de las ortantes cerradas alineadas con el eje que tienen pcomo vértice tiene una intersección no vacía con K .
El casco convexo ortogonal también se conoce como casco convexo rectilíneo o, en dos dimensiones , casco convexo x - y .
La figura muestra un conjunto de 16 puntos en el plano y la envolvente convexa ortogonal de estos puntos. Como se puede ver en la figura, el casco convexo ortogonal es un polígono con algunos bordes degenerados que conectan los vértices extremos en cada dirección de coordenadas. Para un conjunto de puntos discretos como este, todos los bordes del casco convexos ortogonales son horizontales o verticales. En este ejemplo, el casco convexo ortogonal está conectado.
En contraste con la convexidad clásica donde existen varias definiciones equivalentes del casco convexo, las definiciones del casco convexo ortogonal hechas por analogía con las del casco convexo dan como resultado objetos geométricos diferentes. Hasta ahora, los investigadores han explorado las siguientes cuatro definiciones de la envolvente convexa ortogonal de un conjunto :
