En matemáticas , una curva de Osgood es un no-auto-intersección curva (ya sea una curva de Jordan o un arco Jordan ) de positiva área . [1] Más formalmente, estas son curvas en el plano euclidiano con medida de Lebesgue bidimensional positiva .
Historia
Los primeros ejemplos de curvas de Osgood fueron encontrados por William Fogg Osgood ( 1903 ) y Henri Lebesgue ( 1903 ). Ambos ejemplos tienen área positiva en partes de la curva, pero área cero en otras partes; esta falla fue corregida por Knopp (1917) , quien encontró una curva que tiene área positiva en cada vecindario de cada uno de sus puntos, basándose en una construcción anterior de Wacław Sierpiński . El ejemplo de Knopp tiene la ventaja adicional de que su área se puede controlar para que sea cualquier fracción deseada del área de su casco convexo . [2]
Construcción fractal
Aunque la mayoría de las curvas de relleno de espacio no son curvas de Osgood (tienen un área positiva pero a menudo incluyen infinitas auto-intersecciones, en caso de no ser curvas de Jordan), es posible modificar la construcción recursiva de las curvas de relleno de espacio u otras curvas fractales para obtener una Curva de Osgood. [3] Por ejemplo, la construcción de Knopp implica dividir de forma recursiva triángulos en pares de triángulos más pequeños, que se encuentran en un vértice compartido, mediante la eliminación de cuñas triangulares. Cuando las cuñas eliminadas en cada nivel de esta construcción cubren la misma fracción del área de sus triángulos, el resultado es un fractal de Cesàro como el copo de nieve de Koch , pero al eliminar las cuñas cuyas áreas se encogen más rápidamente se produce una curva de Osgood. [2]
Construcción Denjoy – Riesz
Otra forma de construir una curva de Osgood es formar una versión bidimensional del conjunto de Smith-Volterra-Cantor , un conjunto de puntos totalmente desconectado con un área distinta de cero, y luego aplicar el teorema de Denjoy-Riesz según el cual cada conjunto acotado y totalmente El subconjunto desconectado del plano es un subconjunto de una curva de Jordan. [4]
Notas
- ↑ Radó (1948) .
- ↑ a b Knopp (1917) ; Sagan (1994) , Sección 8.3, Las curvas de Osgood de Sierpínski y Knopp, págs. 136–140 .
- ^ Knopp (1917) ; Lance y Thomas (1991) ; Sagan (1993) ).
- ^ Balcerzak y Kharazishvili (1999) .
Referencias
- Balcerzak, M .; Kharazishvili, A. (1999), "Sobre uniones e intersecciones incontables de conjuntos medibles", Georgian Mathematical Journal , 6 (3): 201–212, doi : 10.1023 / A: 1022102312024 , MR 1679442.
- Knopp, K. (1917), "Einheitliche Erzeugung und Darstellung der Kurven von Peano, Osgood und von Koch", Archiv der Mathematik und Physik , 26 : 103-115.
- Lance, Timothy; Thomas, Edward (1991), "Arcos con medida positiva y una curva que llena el espacio", American Mathematical Monthly , 98 (2): 124-127, doi : 10.2307 / 2323941 , JSTOR 2323941 , MR 1089456.
- Lebesgue, H. (1903), "Sur le problème des aires" , Bulletin de la Société Mathématique de France (en francés), 31 : 197–203, doi : 10.24033 / bsmf.694
- Osgood, William F. (1903), "A Jordan Curve of Positive Area", Transactions of the American Mathematical Society , 4 (1): 107-112, doi : 10.1090 / S0002-9947-1903-1500628-5 , ISSN 0002 -9947 , JFM 34.0533.02 , JSTOR 1.986.455 , MR 1500628.
- Radó, Tibor (1948), Longitud y área , Publicaciones del Coloquio de la Sociedad Matemática Estadounidense, vol. 30, American Mathematical Society, Nueva York, pág. 157, ISBN 9780821846216, MR 0024511.
- Sagan, Hans (1993), "A geometrization of Lebesgue's space-fill curve", The Mathematical Intelligencer , 15 (4): 37–43, doi : 10.1007 / BF03024322 , MR 1240667 , Zbl 0795.54022.
- Sagan, Hans (1994), Curvas que llenan el espacio , Universitext, Nueva York: Springer-Verlag, doi : 10.1007 / 978-1-4612-0871-6 , ISBN 0-387-94265-3, MR 1299533.
enlaces externos
- Dickau, Robert, Knopp's Osgood Curve Construction , Wolfram Demonstrations Project , consultado el 20 de octubre de 2013