Inestabilidad Ostrogradsky

En matemáticas aplicadas, la inestabilidad de Ostrogradsky es una característica de algunas soluciones de teorías que tienen ecuaciones de movimiento con más de dos derivadas en el tiempo (teorías de derivada superior). Es sugerido por un teorema de Mikhail Ostrogradsky en mecánica clásica según el cual un lagrangiano no degenerado dependiente de derivadas de tiempo superiores a la primera corresponde a un hamiltoniano ilimitado desde abajo. Como de costumbre, el hamiltoniano se asocia con el lagrangiano a través de una transformada de Legendre. La inestabilidad de Ostrogradsky se ha propuesto como una explicación de por qué no aparecen ecuaciones diferenciales de orden superior a dos para describir fenómenos físicos. ^[1] Sin embargo, el teorema de Ostrogradsky no implica que todas las soluciones de las teorías de derivadas superiores sean inestables, ya que se conocen muchos contraejemplos. ^{[2] [3] [4] [5] [6] [7] [8]}

Esquema de la prueba ^[9]

Los puntos principales de la demostración se pueden aclarar si se considera un sistema unidimensional con un lagrangiano . La ecuación de Euler-Lagrange es${\displaystyle L(q,{\dot {q}},{\ddot {q}})}$

${\displaystyle {\frac {\partial L}{\partial q}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}+{\frac {d^{2}}{dt^{2}}}{\frac {\partial L}{\partial {\ddot {q}}}}=0.}$

No degeneración de significa que las coordenadas canónicas se pueden expresar en términos de las derivadas de y viceversa. Por lo tanto, es una función de (si no lo era, el Jacobiano se desvanecería, lo que significa que es degenerado), lo que significa que podemos escribir o, invirtiendo, . Dado que la evolución de depende de cuatro parámetros iniciales, esto significa que hay cuatro coordenadas canónicas. Podemos escribir esos como${\displaystyle L}$${\displaystyle {q}}$${\displaystyle \partial L/\partial {\ddot {q}}}$${\displaystyle {\ddot {q}}}$ ${\displaystyle \det[\partial ^{2}L/(\partial {{\ddot {q}}_{i}}\,\partial {\ddot {q}}_{j})]}$${\displaystyle L}$${\displaystyle q^{(4)}=F(q,{\dot {q}},{\ddot {q}},q^{(3)})}$${\displaystyle q=G(t,q_{0},{\dot {q}}_{0},{\ddot {q}}_{0},q_{0}^{(3)})}$${\displaystyle q}$

${\displaystyle Q_{1}:=q}$

${\displaystyle Q_{2}:={\dot {q}}}$

y utilizando la definición del momento conjugado,

${\displaystyle P_{1}:={\frac {\partial L}{\partial {\dot {q}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\ddot {q}}}}}$

${\displaystyle P_{2}:={\frac {\partial L}{\partial {\ddot {q}}}}}$

Los resultados anteriores se pueden obtener como sigue. Primero, reescribimos el Lagrangiano en forma "ordinaria" introduciendo un multiplicador Lagrangiano como una nueva variable dinámica.${\displaystyle \lambda }$

${\displaystyle L(q,{\dot {q}},{\ddot {q}})\to {\tilde {L}}=L(Q_{1},{\dot {Q_{1}}},{\dot {Q_{2}}})-\lambda (Q_{2}-{\dot {Q_{1}}})}$,

de donde, las ecuaciones de Euler-Lagrangian para leer${\displaystyle Q_{1},Q_{2},\lambda }$

${\displaystyle Q_{1}:{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q_{1}}}}}+{\dot {\lambda }}-{\frac {\partial L}{\partial Q_{1}}}=0}$,

${\displaystyle Q_{2}:{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q_{2}}}}}+{\lambda }=0}$,

${\displaystyle \lambda :Q_{2}-{\dot {Q_{1}}}=0}$,

Ahora, el impulso canónico con respecto a se muestra fácilmente como${\displaystyle P_{1},P_{2}}$${\displaystyle {\tilde {L}}}$

${\displaystyle P_{1}={\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial {\dot {Q_{1}}}}}={\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q_{1}}}}}+\lambda ={\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q_{1}}}}}-{\frac {d}{dt}}{\frac {\partial L}{\partial {\dot {Q_{2}}}}}}$

${\displaystyle P_{2}={\frac {\partial {\tilde {L}}}{\partial {\dot {Q_{2}}}}}={\frac {\partial {L}}{\partial {\dot {Q_{2}}}}}}$

tiempo

${\displaystyle P_{\lambda }=0}$

Estas son precisamente las definiciones dadas anteriormente por Ostrogradski. Se puede proceder más allá para evaluar el hamiltoniano

${\displaystyle {\tilde {H}}=P_{1}{\dot {Q_{1}}}+P_{2}{\dot {Q_{2}}}+p_{\lambda }{\dot {\lambda }}-{\tilde {L}}=P_{1}Q_{2}+P_{2}{\dot {Q_{2}}}-{L}}$,

donde se hace uso de las ecuaciones Euler-Lagrangianas anteriores para la segunda igualdad. Observamos que debido a la no degeneración, podemos escribir como . Aquí, solo se necesitan tres argumentos ya que el Lagrangiano en sí solo tiene tres parámetros libres. Por lo tanto, la última expresión solo depende de , efectivamente sirve como el hamiltoniano de la teoría original , a saber,${\displaystyle {\ddot {q}}={\dot {Q_{2}}}}$${\displaystyle a(Q_{1},Q_{2},P_{2})}$${\displaystyle P_{1},P_{2},Q_{1},Q_{2}}$

${\displaystyle H=P_{1}Q_{2}+P_{2}a(Q_{1},Q_{2},P_{2})-L(Q_{1},Q_{2},P_{2})}$.

Ahora notamos que el hamiltoniano es lineal en . Esta es una fuente de inestabilidad de Ostrogradsky, y se debe al hecho de que el Lagrangiano depende de menos coordenadas que coordenadas canónicas (que corresponden a los parámetros iniciales necesarios para especificar el problema). La extensión a sistemas de dimensiones superiores es análoga, y la extensión a derivadas superiores simplemente significa que el espacio de fase tiene una dimensión incluso mayor que el espacio de configuración.${\displaystyle P_{1}}$

Notas

1. Motohashi, Hayato; Suyama, Teruaki (2015). "Ecuaciones de movimiento de tercer orden y la inestabilidad de Ostrogradsky". Physical Review D . 91 (8). arXiv : 1411.3721 . doi : 10.1103 / PhysRevD.91.085009 .
2. País, A .; Uhlenbeck, GE (1950). "Teorías de campo con acción no localizada". Revisión física . 79 (145). doi : 10.1103 / PhysRev.79.145 .
3. Pagani, E .; Tecchiolli, G .; Zerbini, S. (1987). "Sobre el problema de la estabilidad de las derivadas de orden superior: sistemas lagrangianos". Letón. Matemáticas. Phys . 14 (311). doi : 10.1007 / BF00402140 .
4. Smilga, AV (2005). "Fantasmas benignos versus maliciosos en teorías de derivadas superiores". Nucl. Phys. B . 706 (598). arXiv : hep-th / 0407231 . doi : 10.1016 / j.nuclphysb.2004.10.037 .
5. Pavsic, M. (2013). "Oscilador Pais-Uhlenbeck estable de interacción propia". Modificación. Phys. Letón. Una . 28 (1350165). arXiv : 1302.5257 . doi : 10.1142 / S0217732313501654 .
6. Kaparulin, DS; Lyakhovich, SL; Sharapov, AA (2014). "Estabilidad clásica y cuántica de la dinámica de derivada superior". EUR. Phys. J. C . 74 (3072). arXiv : 1407.8481 . doi : 10.1140 / epjc / s10052-014-3072-3 .
7. Pavsic, M. (2016). "Oscilador Pais-Uhlenbeck y energías negativas". En t. J. Geom. Metanfetamina Modificación. Phys . 13 (1630015). arXiv : 1607.06589 . doi : 10.1142 / S0219887816300154 .
8. Smilga, AV (2017). "Dinámica clásica y cuántica de sistemas de derivadas superiores". En t. J. Mod. Phys. Una . 32 (1730025). arXiv : 1710.11538 . doi : 10.1142 / S0217751X17300253 .
9. Woodard, RP (2007). "Evitar la energía oscura con modificaciones de gravedad 1 / R". El universo invisible: materia oscura y energía oscura (PDF) . Apuntes de clases de física. 720 . págs. 403–433. arXiv : astro-ph / 0601672 . doi : 10.1007 / 978-3-540-71013-4_14 . ISBN  978-3-540-71012-7.