En matemáticas y mecánica clásica , las coordenadas canónicas son conjuntos de coordenadas en el espacio de fase que se pueden usar para describir un sistema físico en cualquier momento dado. Las coordenadas canónicas se utilizan en la formulación hamiltoniana de la mecánica clásica . Un concepto estrechamente relacionado también aparece en la mecánica cuántica ; consulte el teorema de Stone-von Neumann y las relaciones de conmutación canónicas para obtener más detalles.
Como la mecánica hamiltoniana se generaliza mediante geometría simpléctica y las transformaciones canónicas se generalizan mediante transformaciones de contacto , la definición del siglo XIX de coordenadas canónicas en la mecánica clásica se puede generalizar a una definición más abstracta de coordenadas del siglo XX en el paquete cotangente de una variedad (la matemática noción de espacio de fase).
Definición en mecánica clásica
En la mecánica clásica , las coordenadas canónicas son coordenadas y en el espacio de fase que se utilizan en el formalismo hamiltoniano . Las coordenadas canónicas satisfacen las relaciones fundamentales entre paréntesis de Poisson :
Un ejemplo típico de coordenadas canónicas es para para ser las coordenadas cartesianas habituales , yser los componentes del impulso . Por tanto, en general, la las coordenadas se denominan "momentos conjugados".
Las coordenadas canónicas se pueden obtener de las coordenadas generalizadas del formalismo lagrangiano mediante una transformación de Legendre , o de otro conjunto de coordenadas canónicas mediante una transformación canónica .
Definición de paquetes cotangentes
Las coordenadas canónicas se definen como un conjunto especial de coordenadas en el paquete cotangente de una variedad . Por lo general, se escriben como un conjunto de o con las x o las q denotando las coordenadas de la variedad subyacente y las p denotando el momento conjugado , que son formas 1 en el haz cotangente en el punto q de la variedad.
Una definición común de coordenadas canónicas es cualquier conjunto de coordenadas en el paquete cotangente que permite que la forma canónica se escriba en la forma
hasta un diferencial total. Un cambio de coordenadas que conserva esta forma es una transformación canónica ; estos son un caso especial de un simplectomorfismo , que son esencialmente un cambio de coordenadas en una variedad simpléctica .
En la siguiente exposición, asumimos que las variedades son variedades reales, de modo que los vectores cotangentes que actúan sobre los vectores tangentes producen números reales.
Desarrollo formal
Dada una variedad Q , un campo vectorial X en Q (una sección del paquete tangente TQ ) se puede considerar como una función que actúa sobre el paquete cotangente , por la dualidad entre los espacios tangente y cotangente. Es decir, definir una función
tal que
se cumple para todos los vectores cotangentes p en. Aquí, es un vector en , el espacio tangente a la variedad Q en el punto q . La funciónse llama la función de impulso que corresponde a X .
En coordenadas locales , el campo vectorial X en el punto q puede escribirse como
donde el son el marco de coordenadas en TQ . El momento conjugado tiene entonces la expresión
donde el se definen como las funciones de momento correspondientes a los vectores :
La junto con el juntos forman un sistema de coordenadas en el paquete cotangente ; estas coordenadas se denominan coordenadas canónicas .
Coordenadas generalizadas
En la mecánica de Lagrange , se usa un conjunto diferente de coordenadas, llamadas coordenadas generalizadas . Estos se denotan comúnmente como con llamada la posición generalizada yla velocidad generalizada . Cuando se define un hamiltoniano en el paquete cotangente, las coordenadas generalizadas se relacionan con las coordenadas canónicas mediante las ecuaciones de Hamilton-Jacobi .
Ver también
Referencias
- Goldstein, Herbert ; Poole, Charles P., Jr .; Safko, John L. (2002). Mecánica clásica (3ª ed.). San Francisco: Addison Wesley. págs. 347–349. ISBN 0-201-65702-3.
- Ralph Abraham y Jerrold E. Marsden , Fundamentos de la mecánica , (1978) Benjamin-Cummings, Londres ISBN 0-8053-0102-X Consulte la sección 3.2 .