Fuera (Fn)

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En matemáticas , Out( Fn ) es el grupo de automorfismos exterior de un grupo libre en _n generadores . Estos grupos juegan un papel importante en la teoría de grupos geométricos .

Out( F _n ) actúa geométricamente en un complejo de celdas conocido como espacio exterior de Culler – Vogtmann , que puede considerarse como el espacio de Teichmüller para un ramo de círculos .

Un punto del espacio exterior es esencialmente una homotopía -graph X equivalente a un ramo de n círculos junto con una cierta elección de una clase de homotopía libre de una equivalencia de homotopía de X al ramo de n círculos. Un -graph es solo un gráfico ponderado con pesos en . La suma de todos los pesos debe ser 1 y todos los pesos deben ser positivos. Para evitar la ambigüedad (y obtener un espacio de dimensión finita) se requiere además que la valencia de cada vértice sea al menos 3.${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$

Una vista más descriptiva que evita la equivalencia de homotopía f es la siguiente. Podemos fijar una identificación del grupo fundamental del ramo de n círculos con el grupo libre en n variables. Además, podemos elegir un árbol máximo en X y elegir para cada borde restante una dirección. Ahora asignaremos a cada borde restante e una palabra de la siguiente manera. Considere el camino cerrado que comienza con e y luego regresa al origen de e en el árbol maximal. Componiendo este camino con f obtenemos un camino cerrado en un ramo de n${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle F_{n}}$círculos y por lo tanto un elemento en su grupo fundamental . Este elemento no está bien definido; si cambiamos f por una homotopía libre obtenemos otro elemento. Resulta que esos dos elementos están conjugados entre sí y, por lo tanto, podemos elegir el único elemento reducido cíclicamente en esta clase de conjugación. Es posible reconstruir el tipo de homotopía libre de f a partir de estos datos. Esta vista tiene la ventaja de que evita la elección adicional de f y tiene la desventaja de que surge una ambigüedad adicional, porque uno tiene que elegir un árbol máximo y una orientación de los bordes restantes.${\displaystyle F_{n}}$

La operación de Out( F _n ) en el espacio exterior se define como sigue. Todo automorfismo g de induce una autoequivalencia de homotopía g′ del ramo de n círculos. Componer f con g′ da la acción deseada. Y en el otro modelo es solo la aplicación de g y hacer que la palabra resultante se reduzca cíclicamente.${\displaystyle F_{n}}$

Cada punto en el espacio exterior determina una función de longitud única . Una palabra en determina a través de la equivalencia de homotopía elegida un camino cerrado en X . La longitud de la palabra es entonces la longitud mínima de un camino en la clase de homotopía libre de ese camino cerrado. Tal función de longitud es constante en cada clase de conjugación. La asignación define una incrustación del espacio exterior en algún espacio proyectivo de dimensión infinita.${\displaystyle l_{X}\colon F_{n}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle F_{n}}$${\displaystyle X\mapsto l_{X}}$

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