En matemáticas , específicamente en la teoría de grupos geométricos , una acción de grupo geométrico es un cierto tipo de acción de un grupo discreto en un espacio métrico .
Definición
En la teoría de grupos geométrico, una geometría es cualquier adecuado , espacio métrico geodésica . Una acción de un grupo G generado finitamente sobre una geometría X es geométrica si satisface las siguientes condiciones:
- Cada elemento de G actúa como una isometría de X .
- La acción es cocompacta , es decir, el espacio cociente X / G es un espacio compacto .
- La acción es propiamente discontinua , y cada punto tiene un estabilizador finito .
Unicidad
Si un grupo G actúa geométricamente sobre dos geometrías X e Y , entonces X e Y son cuasi-isométricas . Puesto que cualquier grupo actúa geométricamente en su propio gráfico de Cayley , cualquier espacio en el que G actúa geométricamente es cuasi-isométricos a la gráfica Cayley de G .
Ejemplos de
La conjetura de Cannon establece que cualquier grupo hiperbólico con una esfera 2 en el infinito actúa geométricamente en el espacio 3 hiperbólico.
Referencias
- Cannon, James W. (2002). "Teoría de grupos geométricos". Manual de topología geométrica . Holanda Septentrional. págs. 261-305. ISBN 0-444-82432-4.