Grupo de fondos de pantalla
Aquí un papel pintado es un dibujo que cubre todo un plano euclidiano repitiendo un motivo indefinidamente, de manera que determinadas isometrías mantienen invariable el dibujo . A un papel pintado dado le corresponde un grupo de tales transformaciones congruentes , en las que opera la función composición . El presente artículo clasifica tales grupos.
Por lo tanto, un grupo de papel tapiz (o grupo de simetría plana o grupo cristalográfico plano ) se encuentra en una clasificación matemática de un patrón repetitivo bidimensional , basado en las simetrías en el patrón. Tales patrones ocurren con frecuencia en la arquitectura y el arte decorativo , especialmente en textiles y azulejos , así como en papel tapiz .
La unión de un número infinito de superficies separadas puede formar un papel pintado determinado. Un número infinito de formas y posiciones en el papel pintado son posibles para una superficie repetitiva. Por ejemplo, a la izquierda, dos cuadrados adyacentes de diferentes tamaños del mosaico pitagórico forman juntos una superficie repetitiva que puedes imaginar, cuya unión forma el infinito mosaico pitagórico.
En el presente artículo, un “patrón” es un paralelogramo repetitivo de área mínima en una posición determinada en el papel tapiz. La imagen muestra dos formas de paralelogramos repetitivos de área mínima denotada por a — un cuadrado es un paralelogramo particular —, y las posibles posiciones de estas superficies. En la esquina superior derecha, el cuadrado repetitivo tiene una posición más interesante en el papel pintado por su simetría puntual con respecto al centro de un pequeño cuadrado del mosaico pitagórico.
En el presente artículo, todos los patrones repetitivos (de área mínima) se construyen a partir de dos traslaciones que generan el grupo de todas las traslaciones bajo las cuales el papel tapiz es invariante . En la imagen, el símbolo representa la función composición , y un par como o genera el conjunto de todas las traslaciones que transforman el mosaico pitagórico en sí mismo.
El grupo de papel tapiz más simple, el Grupo p 1, se aplica cuando no hay otra simetría que el hecho de que un patrón se repite en intervalos regulares en dos dimensiones, como se muestra en la sección p1 a continuación.
