En física , la conjetura de Painlevé es un teorema sobre singularidades entre las soluciones al problema de n cuerpos : existen singularidades sin colisión para n ≥ 4. [1] [2]
El teorema fue probado para n ≥ 5 en 1988 por Jeff Xia [3] [4] y para n = 4 en 2014 por Jinxin Xue. [5] [6]
Antecedentes y declaración
Soluciones del problema de los n- cuerpos(donde M son las masas y U denota el potencial gravitacional ) se dice que tienen una singularidad si hay una secuencia de tiempos convergiendo a un finito dónde . Es decir, las fuerzas y aceleraciones se vuelven infinitas en algún momento finito.
Se produce una singularidad de colisión si tiende a un límite definido cuando . Si el límite no existe, la singularidad se denomina singularidad de pseudocolisión o no colisión .
Paul Painlevé mostró que para n = 3 cualquier solución con una singularidad de tiempo finito experimenta una singularidad de colisión. Sin embargo, no logró extender este resultado más allá de los 3 cuerpos. Sus conferencias de Estocolmo de 1895 terminan con la conjetura de que
Desarrollo
Edvard Hugo von Zeipel demostró en 1908 que si hay una singularidad de colisión, entonces tiende a un límite definido como , dónde es el momento de inercia . [9] Esto implica que una condición necesaria para una singularidad sin colisión es que la velocidad de al menos una partícula se vuelva ilimitada (ya que las posicionespermanecen finitos hasta este punto). [1]
Mather y McGehee lograron demostrar en 1975 que una singularidad sin colisión puede ocurrir en el problema colineal de 4 cuerpos (es decir, con todos los cuerpos en una línea), pero solo después de un número infinito de colisiones binarias (regularizadas). [10]
Donald G. Saari demostró en 1977 que para casi todas (en el sentido de la medida de Lebesgue ) las condiciones iniciales en el plano o espacio para problemas de 2, 3 y 4 cuerpos existen soluciones libres de singularidad. [11]
En 1984, Joe Gerver dio un argumento a favor de una singularidad de no colisión en el problema plano de 5 cuerpos sin colisiones. [12] Más tarde encontró una prueba para el caso de los 3 n cuerpos. [13]
Finalmente, en su tesis doctoral de 1988, Jeff Xia demostró una configuración de 5 cuerpos que experimenta una singularidad sin colisión. [3] [4]
Joe Gerver ha dado un modelo heurístico para la existencia de singularidades de 4 cuerpos. [14]
En su tesis doctoral de 2013 en la Universidad de Maryland, Jinxin Xue consideró un modelo simplificado para el caso problema plano de cuatro cuerpos de la conjetura de Painlevé. Basado en un modelo de Gerver, demostró que existe un conjunto de Cantor de condiciones iniciales que conducen a soluciones del sistema hamiltoniano cuyas velocidades se aceleran hasta el infinito en un tiempo finito evitando todas las colisiones anteriores. En 2014, Xue amplió su trabajo anterior y demostró la conjetura para n = 4. [15] [5] [6]
Referencias
- ↑ a b Diacu, Florin N. (1993). "Conjetura de Painlevé". El inteligente matemático . 13 (2).
- ^ Diacu, Florin; Holmes, Philip (1996). Encuentros celestiales: los orígenes del caos y la estabilidad . Prensa de la Universidad de Princeton. ISBN 0-691-02743-9.
- ^ a b Xia, Zhihong (1992). "La existencia de singularidades de no colisión en sistemas newtonianos". Annals of Mathematics . Segunda Serie. 135 (3): 411–468. doi : 10.2307 / 2946572 . JSTOR 2946572 .
- ^ a b Saari, Donald G .; Xia, Zhihong (Jeff) (1993). "Hacia el infinito en tiempo finito". Avisos del AMS . 42 (5): 538–546.
- ^ a b Xue, Jinxin (2014). "Singularidades de no colisión en un problema plano de cuatro cuerpos". arXiv : 1409.0048 . Cite journal requiere
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( ayuda ) - ^ a b Xue, Jinxin (2020). "Singularidades de no colisión en un problema plano de 4 cuerpos". Acta Mathematica . 224 (2): 253–388. doi : 10.4310 / ACTA.2020.v224.n2.a2 .
- ^ Painlevé, P. (1897). Lecons sur la théorie analytique des équations différentielles . París: Hermann.
- ^ Oeuvres de Paul Painlevé . Tomo I. París: Ed. Centr. Nat. Rech. Sci. 1972.
- ^ von Zeipel, H. (1908). "Sur les singularités du problème des corps". Arkiv för Mat. Astron. Fys . 4 : 1–4.
- ^ Mather, J .; McGehee, R. (1975). "Soluciones del problema de los cuatro cuerpos colineales que se vuelven ilimitados en un tiempo finito". En Moser, J. (ed.). Teoría y aplicaciones de sistemas dinámicos . Berlín: Springer-Verlag. pp. 573 -589. ISBN 3-540-07171-7.
- ^ Saari, Donald G. (1977). "Un teorema de existencia global para el problema de cuatro cuerpos de la mecánica newtoniana". J. Ecuaciones diferenciales . 26 (1): 80-111. Código Bibliográfico : 1977JDE .... 26 ... 80S . doi : 10.1016 / 0022-0396 (77) 90100-0 .
- ^ Gerver, JL (1984). "Un posible modelo para una singularidad sin colisiones en el problema de los cinco cuerpos". J. Diff. Eq . 52 (1): 76–90. Código Bibliográfico : 1984JDE .... 52 ... 76G . doi : 10.1016 / 0022-0396 (84) 90136-0 .
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- ^ Gerver, Joseph L. (2003). "Singularidades de no colisión: ¿son suficientes cuatro cuerpos?". Exp. Matemáticas . 12 (2): 187–198. doi : 10.1080 / 10586458.2003.10504491 . S2CID 23816314 .
- ^ Xue, J .; Dolgopyat, D. (2016). "Singularidades de no colisión en el problema plano de dos centros y dos cuerpos". Comun. Matemáticas. Phys . 345 (3): 797–879. arXiv : 1307.2645 . Código bibliográfico : 2016CMaPh.345..797X . doi : 10.1007 / s00220-016-2688-6 . S2CID 119274578 .