Identidad palatini

Variación del tensor de Ricci con respecto a la métrica.

En relatividad general y cálculo de tensores , la identidad de Palatini es:

${\displaystyle \delta R_{\sigma \nu }=\nabla _{\rho }(\delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho })-\nabla _{\nu }(\delta \Gamma _{\rho \sigma }^{\rho }),}$

donde denota la variación de los símbolos de Christoffel e indica diferenciación covariante . ^[1]${\displaystyle \delta \Gamma _{\nu \sigma }^{\rho }}$${\displaystyle \nabla _{\rho }}$

Se puede encontrar una prueba en la entrada Acción de Einstein-Hilbert .

La "misma" identidad se aplica a la derivada de Lie . De hecho, uno tiene:${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\xi }R_{\sigma \nu }}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\xi }R_{\sigma \nu }=\nabla _{\rho }({\mathcal {L}}_{\xi }\Gamma _{\nu \sigma }^{\rho })-\nabla _{\nu }({\mathcal {L}}_{\xi }\Gamma _{\rho \sigma }^{\rho }),}$

donde denota cualquier campo vectorial en la variedad espaciotemporal .${\displaystyle \xi =\xi ^{\rho }\partial _{\rho }}$ ${\displaystyle M}$

Ver también

• Acción de Einstein-Hilbert
• Variación palatini
• Cálculo de Ricci
• Cálculo tensorial
• Símbolos de Christoffel
• Tensor de curvatura de Riemann

Notas

1. Christoffel, EB (1869), "Ueber die Transformation der homogenen Differentialausdrücke zweiten Grades" , Journal für die reine und angewandte Mathematik , B. 70: 46–70

Referencias

• Palatini, Attilio (1919), "Deduzione invariantiva delle equazioni gravitazionali dal principio di Hamilton" [Deducción invariante de las ecuaciones gravitatorias a partir del principio de Hamilton], Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo , 1 (en italiano), 43 : 203-212[Traducción al inglés de R. Hojman y C. Mukku en PG Bergmann y V. De Sabbata (eds.) Cosmology and Gravitation, Plenum Press, Nueva York (1980)]
• Tsamparlis, Michael (1978), "On the Palatini method of Variation" , Journal of Mathematical Physics , 19 (3): 555–557, Bibcode : 1978JMP .... 19..555T , doi : 10.1063 / 1.523699