Cálculo de Ricci

Notación de índice de tensor para cálculos basados ​​en tensor

La "notación de índice tensorial" vuelve a dirigir aquí. Para obtener un resumen de los tensores en general, consulte Glosario de teoría de tensores .

En matemáticas , el cálculo de Ricci constituye las reglas de notación y manipulación de índices para tensores y campos de tensores en una variedad de Riemann ^[a] . ^{[1] [2] [3]} También es el nombre moderno de lo que solía llamarse cálculo diferencial absoluto (la base del cálculo tensorial ), desarrollado por Gregorio Ricci-Curbastro en 1887-1896, y posteriormente popularizado en un artículo escrito con su alumno Tullio Levi-Civita en 1900. ^[4] Jan Arnoldus Schoutendesarrolló la notación y el formalismo modernos para este marco matemático, e hizo contribuciones a la teoría, durante sus aplicaciones a la relatividad general y la geometría diferencial a principios del siglo XX. ^[5]

Un componente de un tensor es un número real que se usa como coeficiente de un elemento base para el espacio tensorial. El tensor es la suma de sus componentes multiplicada por sus elementos base correspondientes. Los tensores y los campos tensoriales se pueden expresar en términos de sus componentes, y las operaciones en los tensores y los campos tensoriales se pueden expresar en términos de operaciones en sus componentes. La descripción de los campos tensoriales y las operaciones sobre ellos en términos de sus componentes es el foco del cálculo de Ricci. Esta notación permite una expresión eficiente de tales campos y operaciones tensoriales. Si bien gran parte de la notación se puede aplicar con cualquier tensor, las operaciones relacionadas con una estructura diferencialsolo son aplicables a campos tensoriales. Cuando sea necesario, la notación se extiende a componentes de no tensores, en particular matrices multidimensionales .

Un tensor puede expresarse como una suma lineal del producto del tensor de los elementos de base del vector y del covector . Los componentes del tensor resultantes se etiquetan mediante índices de la base. Cada índice tiene un valor posible por dimensión del espacio vectorial subyacente . El número de índices es igual al grado (u orden) del tensor.

Por razones de compacidad y conveniencia, la convención de notación implica la suma de los índices repetidos dentro de un término y la cuantificación universal de los índices libres. Las expresiones en la notación del cálculo de Ricci generalmente se pueden interpretar como un conjunto de ecuaciones simultáneas que relacionan los componentes como funciones sobre una variedad, generalmente más específicamente como funciones de las coordenadas en la variedad. Esto permite la manipulación intuitiva de expresiones con familiaridad con solo un conjunto limitado de reglas.

Notación para índices

Ver también: Notación de índice

Distinciones relacionadas con la base

Coordenadas espaciales y temporales

Cuando se debe hacer una distinción entre los elementos de base de tipo espacial y un elemento de tipo temporal en el espacio-tiempo de cuatro dimensiones de la física clásica, esto se hace convencionalmente a través de índices como sigue: ^[6]

• El alfabeto latino en minúsculas a , b , c , ... se usa para indicar restricción al espacio euclidiano tridimensional , que toma valores 1, 2, 3 para los componentes espaciales; y el elemento temporal, indicado por 0, se muestra por separado.
• El alfabeto griego en minúsculas α , β , γ , ... se utiliza para el espacio - tiempo de 4 dimensiones , que normalmente toma valores 0 para los componentes del tiempo y 1, 2, 3 para los componentes espaciales.

Algunas fuentes utilizan 4 en lugar de 0 como valor de índice correspondiente al tiempo; en este artículo, se utiliza 0. De lo contrario, en contextos matemáticos generales, se puede utilizar cualquier símbolo para los índices, que generalmente abarcan todas las dimensiones del espacio vectorial.

Notación de coordenadas e índices

El autor o los autores generalmente dejarán en claro si un subíndice tiene la intención de ser un índice o una etiqueta.

Por ejemplo, en el espacio euclidiano tridimensional y usando coordenadas cartesianas ; el vector de coordenadas A = ( A ₁ , A ₂ , A ₃ ) = ( A _x , A _y , A _z ) muestra una correspondencia directa entre los subíndices 1, 2, 3 y las etiquetas x, y, z . En la expresión A _i , i se interpreta como un índice que se extiende sobre los valores 1, 2, 3, mientras que x, y, zlos subíndices no son índices variables, más bien como "nombres" para los componentes. En el contexto del espacio-tiempo, el valor de índice 0 corresponde convencionalmente a la etiqueta t .

Referencia a la base

Los índices mismos pueden etiquetarse usando símbolos diacríticos , como un sombrero (ˆ), barra (¯), tilde (˜) o primo (′) como en:

${\displaystyle X_{\hat {\phi }}\,,Y_{\bar {\lambda }}\,,Z_{\tilde {\eta }}\,,T_{\mu '}}$

para denotar una base posiblemente diferente para ese índice. Un ejemplo son las transformaciones de Lorentz de un marco de referencia a otro, donde un marco podría estar sin cebar y el otro con cebado, como en:

${\displaystyle v^{\mu '}=v^{\nu }L_{\nu }{}^{\mu '}.}$

Esto no debe confundirse con la notación de van der Waerden para espinores , que usa sombreros y sobrepuntos en los índices para reflejar la quiralidad de un espino.

Índices superior e inferior

El cálculo de Ricci, y la notación de índices de manera más general, distingue entre índices inferiores (subíndices) e índices superiores (superíndices); estos últimos no son exponentes, a pesar de que pueden parecerlo al lector sólo familiarizado con otras partes de las matemáticas.

Es en casos especiales (que el tensor métrico es en todas partes igual a la matriz de identidad) es posible eliminar la distinción entre índices superior e inferior, y luego todos los índices podrían escribirse en la posición inferior: fórmulas de coordenadas en álgebra lineal como para el El producto de matrices a veces puede entenderse como ejemplos de esto, pero en general la notación requiere que se observe y mantenga la distinción entre índices superior e inferior.${\displaystyle a_{ij}b_{jk}}$

Componentes del tensor covariante

Un índice más bajo (subíndice) indica covarianza de los componentes con respecto a ese índice:

${\displaystyle A_{\alpha \beta \gamma \cdots }}$

Componentes del tensor contravariante

Un índice superior (superíndice) indica la contravarianza de los componentes con respecto a ese índice:

${\displaystyle A^{\alpha \beta \gamma \cdots }}$

Componentes del tensor de varianza mixta

Un tensor puede tener índices tanto superior como inferior:

${\displaystyle A_{\alpha }{}^{\beta }{}_{\gamma }{}^{\delta \cdots }.}$

El orden de los índices es significativo, incluso cuando la varianza es diferente. Sin embargo, cuando se entiende que ningún índice subirá o bajará mientras se conserva el símbolo base, los índices covariantes a veces se colocan debajo de los índices contravariantes por conveniencia de notación (por ejemplo, con el delta de Kronecker generalizado ).

Tipo y grado de tensor

El número de cada índice superior e inferior de un tensor da su tipo : un tensor con índices p superior yq inferior se dice que es de tipo ( p , q ) , o que es un tensor de tipo ( p , q ) .

El número de índices de un tensor, independientemente de la varianza, se denomina grado del tensor (alternativamente, su valencia , orden o rango , aunque el rango es ambiguo). Así, un tensor de tipo ( p , q ) tiene grado p + q .

Convención de suma

El mismo símbolo que aparece dos veces (uno superior y otro inferior) dentro de un término indica un par de índices que se suman:

${\displaystyle A_{\alpha }B^{\alpha }\equiv \sum _{\alpha }A_{\alpha }B^{\alpha }\quad {\text{or}}\quad A^{\alpha }B_{\alpha }\equiv \sum _{\alpha }A^{\alpha }B_{\alpha }\,.}$

La operación implícita en tal suma se llama contracción tensorial :

${\displaystyle A_{\alpha }B^{\beta }\rightarrow A_{\alpha }B^{\alpha }\equiv \sum _{\alpha }A_{\alpha }B^{\alpha }\,.}$

Esta suma puede ocurrir más de una vez dentro de un término con un símbolo distinto por par de índices, por ejemplo:

${\displaystyle A_{\alpha }{}^{\gamma }B^{\alpha }C_{\gamma }{}^{\beta }\equiv \sum _{\alpha }\sum _{\gamma }A_{\alpha }{}^{\gamma }B^{\alpha }C_{\gamma }{}^{\beta }\,.}$

Otras combinaciones de índices repetidos dentro de un término se consideran mal formadas, como

${\displaystyle A_{\alpha \alpha }{}^{\gamma }\qquad }$	(ambas apariciones de son menores; estaría bien)${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle A_{\alpha }{}^{\alpha \gamma }}$
${\displaystyle A_{\alpha \gamma }{}^{\gamma }B^{\alpha }C_{\gamma }{}^{\beta }}$	( ocurre dos veces como un índice más bajo; o estaría bien).${\displaystyle \gamma }$${\displaystyle A_{\alpha \gamma }{}^{\gamma }B^{\alpha }}$${\displaystyle A_{\alpha \delta }{}^{\gamma }B^{\alpha }C_{\gamma }{}^{\beta }}$

La razón para excluir tales fórmulas es que, aunque estas cantidades podrían calcularse como matrices de números, en general no se transformarían como tensores bajo un cambio de base.

Notación de índices múltiples

Si un tensor tiene una lista de todos los índices superiores o inferiores, una forma abreviada es usar una letra mayúscula para la lista: ^[7]

${\displaystyle A_{i_{1}\cdots i_{n}}B^{i_{1}\cdots i_{n}j_{1}\cdots j_{m}}C_{j_{1}\cdots j_{m}}\equiv A_{I}B^{IJ}C_{J}}$

donde I = i ₁ i ₂ ⋅⋅⋅ i _n y J = j ₁ j ₂ ⋅⋅⋅ j _m .

Suma secuencial

Un par de barras verticales | | alrededor de un conjunto de índices totalmente superiores o índices totalmente inferiores, asociados con la contracción con otro conjunto de índices: ^[8]

${\displaystyle A_{|\alpha \beta \gamma |\cdots }B^{\alpha \beta \gamma \cdots }=A_{\alpha \beta \gamma \cdots }B^{|\alpha \beta \gamma |\cdots }=\sum _{\alpha <\beta <\gamma }A_{\alpha \beta \gamma \cdots }B^{\alpha \beta \gamma \cdots }}$

significa una suma restringida sobre los valores del índice, donde cada índice está restringido a ser estrictamente menor que el siguiente. Las barras verticales se colocan alrededor del conjunto superior o del conjunto inferior de índices contraídos, no ambos conjuntos. Normalmente al contratar índices, la suma está por encima de todos los valores. En esta notación, las sumas están restringidas por conveniencia computacional. Esto es útil cuando la expresión es completamente antisimétrica en cada uno de los dos conjuntos de índices, como podría ocurrir en el producto tensorial de un vector p con una forma q . Más de un grupo se puede sumar de esta manera, por ejemplo:

${\displaystyle {\begin{aligned}&A_{|\alpha \beta \gamma |}{}^{|\delta \epsilon \cdots \lambda |}B^{\alpha \beta \gamma }{}_{\delta \epsilon \cdots \lambda |\mu \nu \cdots \zeta |}C^{\mu \nu \cdots \zeta }\\[3pt]={}&\sum _{\alpha <\beta <\gamma }~\sum _{\delta <\epsilon <\cdots <\lambda }~\sum _{\mu <\nu <\cdots <\zeta }A_{\alpha \beta \gamma }{}^{\delta \epsilon \cdots \lambda }B^{\alpha \beta \gamma }{}_{\delta \epsilon \cdots \lambda \mu \nu \cdots \zeta }C^{\mu \nu \cdots \zeta }\end{aligned}}}$

Cuando se usa la notación de índices múltiples, se coloca una flecha debajo del bloque de índices: ^[9]

${\displaystyle A_{\underset {\rightharpoondown }{P}}{}^{\underset {\rightharpoondown }{Q}}B^{P}{}_{Q{\underset {\rightharpoondown }{R}}}C^{R}=\sum _{\underset {\rightharpoondown }{P}}\sum _{\underset {\rightharpoondown }{Q}}\sum _{\underset {\rightharpoondown }{R}}A_{P}{}^{Q}B^{P}{}_{QR}C^{R}}$

dónde

${\displaystyle {\underset {\rightharpoondown }{P}}=|\alpha \beta \gamma |\,,\quad {\underset {\rightharpoondown }{Q}}=|\delta \epsilon \cdots \lambda |\,,\quad {\underset {\rightharpoondown }{R}}=|\mu \nu \cdots \zeta |}$

Subir y bajar índices

Al contraer un índice con un tensor métrico no singular , se puede cambiar el tipo de tensor, convirtiendo un índice inferior en un índice superior o viceversa:

${\displaystyle B^{\gamma }{}_{\beta \cdots }=g^{\gamma \alpha }A_{\alpha \beta \cdots }\quad {\text{and}}\quad A_{\alpha \beta \cdots }=g_{\alpha \gamma }B^{\gamma }{}_{\beta \cdots }}$

El símbolo base en muchos casos se conserva (por ejemplo, usando A donde aparece B aquí), y cuando no hay ambigüedad, se puede considerar que el reposicionamiento de un índice implica esta operación.

Correlaciones entre las posiciones del índice y la invariancia

Esta tabla resume cómo la manipulación de índices covariantes y contravariantes encaja con invariancia bajo una transformación pasiva entre bases, con los componentes de cada base establecida en términos de la otra reflejada en la primera columna. Los índices barrados se refieren al sistema de coordenadas final después de la transformación. ^[10]

Se utiliza el delta de Kronecker , véase también a continuación .

	Transformación de base	Transformación de componentes	Invariancia
Covector, vector covariante, 1 forma	${\displaystyle e^{\bar {\alpha }}=L^{\bar {\alpha }}{}_{\beta }e^{\beta }}$	${\displaystyle a_{\bar {\alpha }}=a_{\gamma }L^{\gamma }{}_{\bar {\alpha }}}$	${\displaystyle a_{\bar {\alpha }}e^{\bar {\alpha }}=a_{\gamma }L^{\gamma }{}_{\bar {\alpha }}L^{\bar {\alpha }}{}_{\beta }e^{\beta }=a_{\gamma }\delta ^{\gamma }{}_{\beta }e^{\beta }=a_{\beta }e^{\beta }}$
Vector, vector contravariante	${\displaystyle e_{\bar {\alpha }}=L^{\gamma }{}_{\bar {\alpha }}e_{\gamma }}$	${\displaystyle a^{\bar {\alpha }}=a^{\beta }L^{\bar {\alpha }}{}_{\beta }}$	${\displaystyle a^{\bar {\alpha }}e_{\bar {\alpha }}=a^{\beta }L^{\bar {\alpha }}{}_{\beta }L^{\gamma }{}_{\bar {\alpha }}e_{\gamma }=a^{\beta }\delta ^{\gamma }{}_{\beta }e_{\gamma }=a^{\gamma }e_{\gamma }}$

Esquemas generales para operaciones y notación de índices

Los tensores son iguales si y solo si todos los componentes correspondientes son iguales; por ejemplo, el tensor A es igual al tensor B si y solo si

${\displaystyle A^{\alpha }{}_{\beta \gamma }=B^{\alpha }{}_{\beta \gamma }}$

para todo α , β , γ . En consecuencia, hay facetas de la notación que son útiles para comprobar que una ecuación tiene sentido (un procedimiento análogo al análisis dimensional ).

Índices libres y ficticios

Los índices que no participan en las contracciones se denominan índices libres . Los índices utilizados en las contracciones se denominan índices ficticios o índices de suma .

Una ecuación tensorial representa muchas ecuaciones ordinarias (de valor real)

Los componentes de los tensores (como A ^α , B _β ^γ, etc.) son solo números reales. Dado que los índices toman varios valores enteros para seleccionar componentes específicos de los tensores, una sola ecuación de tensor representa muchas ecuaciones ordinarias. Si una igualdad de tensor tiene n índices libres, y si la dimensionalidad del espacio vectorial subyacente es m , la igualdad representa m ⁿ ecuaciones: cada índice toma todos los valores de un conjunto específico de valores.

Por ejemplo, si

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }=T^{\alpha }{}_{\beta }{}_{\delta }}$

está en cuatro dimensiones (es decir, cada índice va de 0 a 3 o de 1 a 4), entonces, debido a que hay tres índices libres ( α , β , δ ), hay 4 ³ = 64 ecuaciones. Tres de ellos son:

${\displaystyle {\begin{aligned}A^{0}B_{1}{}^{0}C_{00}+A^{0}B_{1}{}^{1}C_{10}+A^{0}B_{1}{}^{2}C_{20}+A^{0}B_{1}{}^{3}C_{30}+D^{0}{}_{1}{}E_{0}&=T^{0}{}_{1}{}_{0}\\A^{1}B_{0}{}^{0}C_{00}+A^{1}B_{0}{}^{1}C_{10}+A^{1}B_{0}{}^{2}C_{20}+A^{1}B_{0}{}^{3}C_{30}+D^{1}{}_{0}{}E_{0}&=T^{1}{}_{0}{}_{0}\\A^{1}B_{2}{}^{0}C_{02}+A^{1}B_{2}{}^{1}C_{12}+A^{1}B_{2}{}^{2}C_{22}+A^{1}B_{2}{}^{3}C_{32}+D^{1}{}_{2}{}E_{2}&=T^{1}{}_{2}{}_{2}.\end{aligned}}}$

Esto ilustra la compacidad y la eficiencia de usar la notación de índice: muchas ecuaciones que comparten una estructura similar se pueden recopilar en una simple ecuación tensorial.

Los índices son etiquetas reemplazables

Reemplazar cualquier símbolo de índice por otro deja la ecuación del tensor sin cambios (siempre que no haya conflicto con otros símbolos ya usados). Esto puede ser útil cuando se manipulan índices, como usar la notación de índice para verificar las identidades del cálculo vectorial o las identidades del delta de Kronecker y el símbolo de Levi-Civita (ver también más abajo). Un ejemplo de un cambio correcto es:

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }\rightarrow A^{\lambda }B_{\beta }{}^{\mu }C_{\mu \delta }+D^{\lambda }{}_{\beta }{}E_{\delta }\,,}$

mientras que un cambio erróneo es:

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }\nrightarrow A^{\lambda }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\mu \delta }+D^{\alpha }{}_{\beta }{}E_{\delta }\,.}$

En el primer reemplazo, λ reemplazó a α y μ reemplazó a γ en todas partes , por lo que la expresión todavía tiene el mismo significado. En el segundo, λ no reemplazó completamente a α , y μ no reemplazó completamente a γ (por cierto, la contracción en el índice γ se convirtió en un producto tensorial), lo cual es completamente inconsistente por las razones que se muestran a continuación.

Los índices son iguales en todos los términos

Los índices libres en una expresión tensorial siempre aparecen en la misma posición (superior o inferior) a lo largo de cada término, y en una ecuación tensorial los índices libres son los mismos en cada lado. Los índices ficticios (que implican una suma sobre ese índice) no necesitan ser iguales, por ejemplo:

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D^{\alpha }{}_{\delta }E_{\beta }=T^{\alpha }{}_{\beta }{}_{\delta }}$

en cuanto a una expresión errónea:

${\displaystyle A^{\alpha }B_{\beta }{}^{\gamma }C_{\gamma \delta }+D_{\alpha }{}_{\beta }{}^{\gamma }E^{\delta }.}$

En otras palabras, los índices no repetidos deben ser del mismo tipo en todos los términos de la ecuación. En la identidad anterior, α , β , δ se alinean y γ ocurre dos veces en un término debido a una contracción (una vez como índice superior y una vez como índice inferior), y por lo tanto es una expresión válida. En la expresión no válida, mientras que β se alinea, α y δ no, y γ aparece dos veces en un término (contracción) y una vez en otro término, lo cual es inconsistente.

Los corchetes y la puntuación se usan una vez cuando están implícitos

Cuando se aplica una regla a varios índices (diferenciación, simetrización, etc., que se muestran a continuación), el corchete o los símbolos de puntuación que indican las reglas solo se muestran en un grupo de índices a los que se aplican.

Si los corchetes encierran índices covariantes , la regla se aplica solo a todos los índices covariantes encerrados entre corchetes , no a los índices contravariantes que se coloquen de forma intermedia entre los corchetes.

De manera similar, si los corchetes encierran índices contravariantes , la regla se aplica solo a todos los índices contravariantes incluidos , no a los índices covariantes colocados en un lugar intermedio.

Partes simétricas y antisimétricas

Parte simétrica del tensor

Los paréntesis, () , alrededor de varios índices denotan la parte simétrica del tensor. Cuando se simetrizan índices p usando σ para variar sobre las permutaciones de los números 1 ap , se toma una suma sobre las permutaciones de esos índices α _{σ ( i )} para i = 1, 2, 3,…, p , y luego se divide por el número de permutaciones:

${\displaystyle A_{(\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{p})\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}={\dfrac {1}{p!}}\sum _{\sigma }A_{\alpha _{\sigma (1)}\cdots \alpha _{\sigma (p)}\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\,.}$

Por ejemplo, dos índices simétricos significan que hay dos índices para permutar y sumar:

${\displaystyle A_{(\alpha \beta )\gamma \cdots }={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \cdots }+A_{\beta \alpha \gamma \cdots }\right)}$

mientras que para tres índices simétricos, hay tres índices para sumar y permutar:

${\displaystyle A_{(\alpha \beta \gamma )\delta \cdots }={\dfrac {1}{3!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \delta \cdots }+A_{\gamma \alpha \beta \delta \cdots }+A_{\beta \gamma \alpha \delta \cdots }+A_{\alpha \gamma \beta \delta \cdots }+A_{\gamma \beta \alpha \delta \cdots }+A_{\beta \alpha \gamma \delta \cdots }\right)}$

La simetrización es distributiva sobre la suma;

${\displaystyle A_{(\alpha }\left(B_{\beta )\gamma \cdots }+C_{\beta )\gamma \cdots }\right)=A_{(\alpha }B_{\beta )\gamma \cdots }+A_{(\alpha }C_{\beta )\gamma \cdots }}$

Los índices no forman parte de la simetrización cuando son:

• no al mismo nivel, por ejemplo;

  ${\displaystyle A_{(\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma )}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma }+A_{\gamma }B^{\beta }{}_{\alpha }\right)}$

• entre paréntesis y entre barras verticales (es decir, | ⋅⋅⋅ |), modificando el ejemplo anterior;

  ${\displaystyle A_{(\alpha }B_{|\beta |}{}_{\gamma )}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B_{\beta \gamma }+A_{\gamma }B_{\beta \alpha }\right)}$

Aquí los índices α y γ están simétrizados, β no.

Parte antisimétrica o alterna del tensor

Los corchetes, [] , alrededor de múltiples índices de puntos marca el contra parte symmetrized del tensor. Para p índices antisimetrizantes, se toma la suma de las permutaciones de esos índices α _{σ ( i )} multiplicada por la firma de la permutación sgn ( σ ) y luego se divide por el número de permutaciones:

${\displaystyle {\begin{aligned}&A_{[\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}]\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\[3pt]={}&{\dfrac {1}{p!}}\sum _{\sigma }\operatorname {sgn}(\sigma )A_{\alpha _{\sigma (1)}\cdots \alpha _{\sigma (p)}\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\={}&\delta _{\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}}^{\beta _{1}\dots \beta _{p}}A_{\beta _{1}\cdots \beta _{p}\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}\\\end{aligned}}}$

donde δβ 1 ⋅⋅⋅ β p
α 1 ⋅⋅⋅ α pes el delta de Kronecker generalizado de grado 2 p , con escala como se define a continuación.

Por ejemplo, dos índices antisimetrizantes implican:

${\displaystyle A_{[\alpha \beta ]\gamma \cdots }={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \cdots }-A_{\beta \alpha \gamma \cdots }\right)}$

mientras que tres índices antisimetrizantes implican:

${\displaystyle A_{[\alpha \beta \gamma ]\delta \cdots }={\dfrac {1}{3!}}\left(A_{\alpha \beta \gamma \delta \cdots }+A_{\gamma \alpha \beta \delta \cdots }+A_{\beta \gamma \alpha \delta \cdots }-A_{\alpha \gamma \beta \delta \cdots }-A_{\gamma \beta \alpha \delta \cdots }-A_{\beta \alpha \gamma \delta \cdots }\right)}$

en cuanto a un ejemplo más específico, si F representa el tensor electromagnético , entonces la ecuación

${\displaystyle 0=F_{[\alpha \beta ,\gamma ]}={\dfrac {1}{3!}}\left(F_{\alpha \beta ,\gamma }+F_{\gamma \alpha ,\beta }+F_{\beta \gamma ,\alpha }-F_{\beta \alpha ,\gamma }-F_{\alpha \gamma ,\beta }-F_{\gamma \beta ,\alpha }\right)\,}$

representa la ley de Gauss para el magnetismo y la ley de inducción de Faraday .

Como antes, la antisimetrización es distributiva sobre la adición;

${\displaystyle A_{[\alpha }\left(B_{\beta ]\gamma \cdots }+C_{\beta ]\gamma \cdots }\right)=A_{[\alpha }B_{\beta ]\gamma \cdots }+A_{[\alpha }C_{\beta ]\gamma \cdots }}$

Al igual que con la simetrización, los índices no están antisimetrizados cuando son:

• no al mismo nivel, por ejemplo;

  ${\displaystyle A_{[\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma ]}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B^{\beta }{}_{\gamma }-A_{\gamma }B^{\beta }{}_{\alpha }\right)}$

• entre corchetes y entre barras verticales (ie | ⋅⋅⋅ |), modificando el ejemplo anterior;

  ${\displaystyle A_{[\alpha }B_{|\beta |}{}_{\gamma ]}={\dfrac {1}{2!}}\left(A_{\alpha }B_{\beta \gamma }-A_{\gamma }B_{\beta \alpha }\right)}$

Aquí los índices α y γ están antisimetrizados, β no.

Suma de partes simétricas y antisimétricas

Cualquier tensor se puede escribir como la suma de sus partes simétricas y antisimétricas en dos índices:

${\displaystyle A_{\alpha \beta \gamma \cdots }=A_{(\alpha \beta )\gamma \cdots }+A_{[\alpha \beta ]\gamma \cdots }}$

como puede verse sumando las expresiones anteriores para A _{( αβ ) γ ⋅⋅⋅} y A _{[ αβ ] γ ⋅⋅⋅} . Esto no es válido para otros dos índices.

Diferenciación

Ver también: Cuatro gradiente , d'Alembert , y derivado intrínseca

Para compacidad, las derivadas se pueden indicar agregando índices después de una coma o punto y coma. ^{[11] [12]}

Derivada parcial

Si bien la mayoría de las expresiones del cálculo de Ricci son válidas para bases arbitrarias, las expresiones que involucran derivadas parciales de componentes tensoriales con respecto a coordenadas se aplican solo con una base de coordenadas : una base que se define mediante diferenciación con respecto a las coordenadas. Las coordenadas se denotan típicamente por x ^μ , pero en general no forman los componentes de un vector. En el espacio-tiempo plano con coordinación lineal, una tupla de diferencias en coordenadas, Δ x ^μ, puede tratarse como un vector contravariante. Con las mismas restricciones en el espacio y en la elección del sistema de coordenadas, las derivadas parciales con respecto a las coordenadas dan un resultado que es efectivamente covariante. Aparte del uso en este caso especial, las derivadas parciales de componentes de tensores son útiles para construir expresiones que son covariantes, aunque aún con una base de coordenadas si las derivadas parciales se usan explícitamente, como con la covariante y las derivadas de Lie a continuación.

Para indicar la diferenciación parcial de los componentes de un campo tensorial con respecto a una variable de coordenadas x ^γ , se coloca una coma antes de un índice inferior adjunto de la variable de coordenadas.

${\displaystyle A_{\alpha \beta \cdots ,\gamma }={\dfrac {\partial }{\partial x^{\gamma }}}A_{\alpha \beta \cdots }}$

Esto se puede repetir (sin agregar más comas):

${\displaystyle A_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{p}\,,\,\alpha _{p+1}\cdots \alpha _{q}}={\dfrac {\partial ^{q-p}}{\partial x^{\alpha _{q}}\cdots \partial x^{\alpha _{p+2}}\partial x^{\alpha _{p+1}}}}A_{\alpha _{1}\alpha _{2}\cdots \alpha _{p}}.}$

Estos componentes no se transforman de forma covariable, a menos que la expresión que se diferencia sea un escalar. Esta derivada se caracteriza por la regla del producto y las derivadas de las coordenadas

${\displaystyle x^{\alpha }{}_{,\gamma }=\delta ^{\alpha }{}_{\gamma },}$

donde δ es el delta de Kronecker .

Derivado covariante

Para indicar la diferenciación covariante de cualquier campo tensorial, se coloca un punto y coma (  ; ) antes de un índice inferior (covariante) adjunto. Las alternativas menos comunes al punto y coma incluyen una barra inclinada ( / ) ^[13] o en un espacio curvo tridimensional una sola barra vertical (  |  ). ^[14]

Para un vector contravariante, su derivada covariante es:

${\displaystyle A^{\alpha }{}_{;\beta }=A^{\alpha }{}_{,\beta }+\Gamma ^{\alpha }{}_{\gamma \beta }A^{\gamma }}$

donde Γ ^α _βγ es un símbolo de Christoffel del segundo tipo.

Para un vector covariante, su derivada covariante es:

${\displaystyle A_{\alpha ;\beta }=A_{\alpha ,\beta }-\Gamma ^{\gamma }{}_{\alpha \beta }A_{\gamma }\,.}$

Para un tensor arbitrario: ^[15]

${\displaystyle {\begin{aligned}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s};\gamma }&\\=T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s},\gamma }&+\,\Gamma ^{\alpha _{1}}{}_{\delta \gamma }T^{\delta \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}+\cdots +\Gamma ^{\alpha _{r}}{}_{\delta \gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\delta }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\&-\,\Gamma ^{\delta }{}_{\beta _{1}\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\delta \beta _{2}\cdots \beta _{s}}-\cdots -\Gamma ^{\delta }{}_{\beta _{s}\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\delta }\,.\end{aligned}}}$

Los componentes de esta derivada de un campo tensorial se transforman de forma covariable y, por lo tanto, forman otro campo tensorial. Esta derivada se caracteriza por la regla del producto y aplicada al tensor métrico g _μν da cero:

${\displaystyle g_{\mu \nu ;\gamma }=0\,.}$

La formulación covariante de la derivada direccional de cualquier campo tensorial a lo largo de un vector v ^γ puede expresarse como su contracción con la derivada covariante, por ejemplo:

${\displaystyle v^{\gamma }A_{\alpha ;\gamma }\,.}$

Una notación alternativa para la derivada covariante de cualquier tensor es el símbolo nabla con subíndice ∇ _β . Para el caso de un campo vectorial A ^α : ^[16]

${\displaystyle \nabla _{\beta }A^{\alpha }={\frac {\partial A^{\alpha }}{\partial x^{\beta }}}+\Gamma ^{\alpha }{}_{\gamma \beta }A^{\gamma }.}$

Derivado de la mentira

La derivada de Lie es otra derivada que es covariante, pero que no debe confundirse con la derivada covariante . Se define incluso en ausencia de un tensor métrico. La derivada de Lie de un campo tensorial de tipo ( r , s ) T a lo largo (del flujo de) un campo vectorial contravariante X ^ρ puede expresarse como ^[17]

${\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}T)^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}&\\=X^{\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s},\gamma }&-\,X^{\alpha _{1}}{}_{,\gamma }T^{\gamma \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}-\cdots -X^{\alpha _{r}}{}_{,\gamma }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\gamma }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\&+\,X^{\gamma }{}_{,\beta _{1}}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\gamma \beta _{2}\cdots \beta _{s}}+\cdots +X^{\gamma }{}_{,\beta _{s}}T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\gamma }\,.\end{aligned}}}$

Esta derivada se caracteriza por la regla del producto y el hecho de que la derivada del campo vectorial contravariante dado X ^ρ es cero.

${\displaystyle ({\mathcal {L}}_{X}X)^{\rho }=[X,X]^{\rho }=0\,.}$

La derivada de Lie de un campo tensorial relativo de tipo ( r , s ) Λ de peso w a lo largo (el flujo de) un campo vectorial contravariante X ^ρ puede expresarse como ^[18]

${\displaystyle {\begin{aligned}({\mathcal {L}}_{X}\Lambda )^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}&\\=X^{\gamma }\Lambda ^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s},\gamma }&-\,X^{\alpha _{1}}{}_{,\gamma }\Lambda ^{\gamma \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}-\cdots -X^{\alpha _{r}}{}_{,\gamma }\Lambda ^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\gamma }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\&+\,X^{\gamma }{}_{,\beta _{1}}\Lambda ^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\gamma \beta _{2}\cdots \beta _{s}}+\cdots +X^{\gamma }{}_{,\beta _{s}}\Lambda ^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\gamma }\\&+\,wX^{\gamma }{}_{,\gamma }\Lambda ^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\,.\end{aligned}}}$

Tensores notables

Delta de Kronecker

El delta de Kronecker es como la matriz de identidad

${\displaystyle {\begin{aligned}\delta _{\beta }^{\alpha }\,A^{\beta }&=A^{\alpha }\\\delta _{\nu }^{\mu }\,B_{\mu }&=B_{\nu }\,\end{aligned}}}$

cuando se multiplica y se contrae. Los componentes δ^α
_βson iguales en cualquier base y forman un tensor invariante de tipo (1, 1) , es decir, la identidad del paquete tangente sobre el mapeo de identidad de la variedad base , por lo que su traza es invariante. ^[19] Su huella es la dimensionalidad del espacio; por ejemplo, en el espacio - tiempo de cuatro dimensiones ,

${\displaystyle \delta _{\rho }^{\rho }=\delta _{0}^{0}+\delta _{1}^{1}+\delta _{2}^{2}+\delta _{3}^{3}=4.}$

El delta de Kronecker pertenece a la familia de deltas de Kronecker generalizados. El delta de Kronecker generalizado de grado 2 p puede definirse en términos del delta de Kronecker por (una definición común incluye un multiplicador adicional de p ! A la derecha):

${\displaystyle \delta _{\beta _{1}\cdots \beta _{p}}^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}}=\delta _{\beta _{1}}^{[\alpha _{1}}\cdots \delta _{\beta _{p}}^{\alpha _{p}]}}$

y actúa como un antisimetrizador en p índices:

${\displaystyle \delta _{\beta _{1}\cdots \beta _{p}}^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}}\,A^{\beta _{1}\cdots \beta _{p}}=A^{[\alpha _{1}\cdots \alpha _{p}]}.}$

Tensor métrico

El tensor métrico g _αβ se utiliza para reducir los índices y da la longitud de cualquier curva similar a un espacio.

${\displaystyle {\text{length}}=\int _{y_{1}}^{y_{2}}{\sqrt {g_{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{d\gamma }}{\frac {dx^{\beta }}{d\gamma }}}}\,d\gamma \,,}$

donde γ es cualquier parametrización suave estrictamente monótona de la ruta. También da la duración de cualquier curva similar al tiempo.

${\displaystyle {\text{duration}}=\int _{t_{1}}^{t_{2}}{\sqrt {{\frac {-1}{c^{2}}}g_{\alpha \beta }{\frac {dx^{\alpha }}{d\gamma }}{\frac {dx^{\beta }}{d\gamma }}}}\,d\gamma \,,}$

donde γ es cualquier parametrización suave estrictamente monótona de la trayectoria. Véase también elemento de línea .

La matriz inversa g ^αβ del tensor métrico es otro tensor importante, que se usa para elevar índices:

${\displaystyle g^{\alpha \beta }g_{\beta \gamma }=\delta _{\gamma }^{\alpha }\,.}$

Tensor de curvatura de Riemann

Si este tensor se define como

${\displaystyle R^{\rho }{}_{\sigma \mu \nu }=\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \sigma ,\mu }-\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \sigma ,\nu }+\Gamma ^{\rho }{}_{\mu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \sigma }-\Gamma ^{\rho }{}_{\nu \lambda }\Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \sigma }\,,}$

entonces es el conmutador de la derivada covariante consigo mismo: ^{[20] [21]}

${\displaystyle A_{\nu ;\rho \sigma }-A_{\nu ;\sigma \rho }=A_{\beta }R^{\beta }{}_{\nu \rho \sigma }\,,}$

dado que la conexión Γ ^α _{βμ no} tiene torsión, lo que significa que el tensor de torsión

${\displaystyle \Gamma ^{\lambda }{}_{\mu \nu }-\Gamma ^{\lambda }{}_{\nu \mu }\,}$

desaparece.

Esto se puede generalizar para obtener el conmutador para dos derivadas covariantes de un tensor arbitrario de la siguiente manera:

${\displaystyle {\begin{aligned}&T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s};\gamma \delta }-T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s};\delta \gamma }\\=-&R^{\alpha _{1}}{}_{\rho \gamma \delta }T^{\rho \alpha _{2}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}-\cdots -R^{\alpha _{r}}{}_{\rho \gamma \delta }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r-1}\rho }{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s}}\\{}+{}&R^{\sigma }{}_{\beta _{1}\gamma \delta }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\sigma \beta _{2}\cdots \beta _{s}}+\cdots +R^{\sigma }{}_{\beta _{s}\gamma \delta }T^{\alpha _{1}\cdots \alpha _{r}}{}_{\beta _{1}\cdots \beta _{s-1}\sigma }\,\end{aligned}}}$

que a menudo se conocen como las identidades de Ricci . ^[22]

Ver también

• Notación de índice abstracto
• Conexión
• Álgebra exterior
• Forma diferencial
• Operador estrella Hodge
• Base holonómica
• Tensor métrico
• Notación gráfica de Penrose
• Cálculo de Regge
• Descomposición de Ricci
• Tensor (definición intrínseca)
• Cálculo tensorial
• Campo tensorial

Notas

1. Si bien la subida y bajada de índices depende del tensor métrico , la derivada covariante solo depende de la conexión afín derivada de ella.

Referencias

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3. R. Penrose (2007). El camino a la realidad . Libros antiguos. ISBN 0-679-77631-1.
4. Ricci, Gregorio ; Levi-Civita, Tullio (marzo de 1900). "Méthodes de calcul différentiel absolu et leurs applications" [Métodos del cálculo diferencial absoluto y sus aplicaciones]. Mathematische Annalen (en francés). Saltador. 54 (1-2): 125-201. doi : 10.1007 / BF01454201 . Consultado el 19 de octubre de 2019 .
5. Schouten, Jan A. (1924). R. Courant (ed.). Der Ricci-Kalkül - Eine Einführung in die neueren Methoden und Probleme der mehrdimensionalen Differentialgeometrie (Ricci Calculus - Una introducción a los últimos métodos y problemas en geometría diferencial multidimensional) . Grundlehren der mathischen Wissenschaften (en alemán). 10 . Berlín: Springer Verlag.
6. C. Møller (1952), La teoría de la relatividad , p. 234 es un ejemplo de una variación: 'Los índices griegos van de 1 a 3, los índices latinos de 1 a 4'
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9. T. Frankel (2012), La geometría de la física (3ª ed.), Cambridge University Press, p. 67, ISBN 978-1107-602601
10. JA Wheeler; C. Misner; KS Thorne (1973). Gravitación . WH Freeman & Co. págs. 61, 202–203, 232. ISBN 0-7167-0344-0.
11. G. Woan (2010). El Manual de fórmulas de física de Cambridge . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 978-0-521-57507-2.
12. Derivado covariante - Mathworld, Wolfram
13. T. Frankel (2012), La geometría de la física (3ª ed.), Cambridge University Press, p. 298, ISBN 978-1107-602601
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17. Obispo, RL; Goldberg, SI (1968), Tensor Analysis on Manifolds , pág. 130
18. Lovelock, David; Hanno Rund (1989). Tensores, formas diferenciales y principios variacionales . pag. 123.
19. Obispo, RL; Goldberg, SI (1968), Tensor Analysis on Manifolds , pág. 85
20. Synge JL; Schild A. (1949). Cálculo tensorial . Primera edición de Dover Publications 1978. págs. 83, pág. 107.
21. PAM Dirac. Teoría general de la relatividad . págs. 20-21.
22. Lovelock, David; Hanno Rund (1989). Tensores, formas diferenciales y principios variacionales . pag. 84.

Fuentes

• Bishop, RL ; Goldberg, SI (1968), Tensor Analysis on Manifolds (Primera edición de Dover 1980), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6
• Danielson, Donald A. (2003). Vectores y tensores en ingeniería y física (2 / e ed.). Westview (Perseo). ISBN 978-0-8133-4080-7.
• Dimitrienko, Yuriy (2002). Análisis de tensor y funciones de tensor no lineal . Editores académicos de Kluwer (Springer). ISBN 1-4020-1015-X.
• Lovelock, David; Hanno Rund (1989) [1975]. Tensores, formas diferenciales y principios variacionales . Dover. ISBN 978-0-486-65840-7.
• C. Møller (1952), La teoría de la relatividad (3.a ed.), Oxford University Press
• Synge JL; Schild A. (1949). Cálculo tensorial . Primera edición de Dover Publications 1978. ISBN 978-0-486-63612-2.
• JR Tyldesley (1975), Introducción al análisis de tensores: para ingenieros y científicos aplicados , Longman, ISBN 0-582-44355-5
• DC Kay (1988), Tensor Calculus , Schaum's Outlines, McGraw Hill (EE. UU.), ISBN 0-07-033484-6
• T. Frankel (2012), La geometría de la física (3.a ed.), Cambridge University Press, ISBN 978-1107-602601