Cuadrado mágico pandiagonal

Un cuadrado mágico pandiagonal o cuadrado panmágico (también cuadrado diabólico , cuadrado diabólico o cuadrado mágico diabólico ) es un cuadrado mágico con la propiedad adicional de que las diagonales rotas , es decir, las diagonales que se envuelven en los bordes del cuadrado, también se suman al constante mágica .

Un cuadrado mágico pandiagonal sigue siendo pandiagonalmente mágico no solo bajo rotación o reflexión , sino también si una fila o columna se mueve de un lado del cuadrado al lado opuesto. Como tal, se puede considerar que un cuadrado mágico pandiagonal tiene orientaciones.${\ Displaystyle n \ times n}$${\ Displaystyle 8n ^ {2}}$

Se puede demostrar que los cuadrados mágicos pandiagonales no triviales de orden 3 no existen. Supongamos que el cuadrado

es pandiagonalmente mágico con suma mágica . Sumando sumas y resultados . Restando y obtenemos . Sin embargo, si movemos la tercera columna al frente y realizamos la misma demostración, obtenemos . De hecho, usando las simetrías de cuadrados mágicos de 3 × 3, todas las celdas deben ser iguales . Por lo tanto, todos los cuadrados mágicos pandiagonales de 3 × 3 deben ser triviales.${\ Displaystyle s}$${\ Displaystyle a_ {11} + a_ {22} + a_ {33},}$ ${\ Displaystyle a_ {12} + a_ {22} + a_ {32},}$${\ Displaystyle a_ {13} + a_ {22} + a_ {31}}$${\ Displaystyle 3s}$${\ Displaystyle a_ {11} + a_ {12} + a_ {13}}$${\ Displaystyle a_ {31} + a_ {32} + a_ {33},}$${\ Displaystyle 3a_ {22} = s}$${\ Displaystyle 3a_ {21} = s}$${\ displaystyle {\ tfrac {1} {3}} s}$

Sin embargo, si el concepto de cuadrado mágico se generaliza para incluir formas geométricas en lugar de números (los cuadrados mágicos geométricos descubiertos por Lee Sallows) , existe un cuadrado mágico pandiagonal de 3 × 3.

Los cuadrados mágicos pandiagonales no triviales más pequeños son cuadrados de 4 × 4. Todos los cuadrados mágicos pandiagonales de 4 × 4 deben ser traslacionalmente simétricos a la forma ^[1]

Diagrama de Euler de requisitos de algunos tipos de cuadrados mágicos de 4 × 4. Las celdas del mismo color se suman a la constante mágica.