Diagrama de Euler

Este artículo trata sobre los círculos eulerianos de teoría y lógica de conjuntos. Para el círculo de Euler geométrico, consulte Círculo de nueve puntos .

Un diagrama de Euler que ilustra que el conjunto de "animales con cuatro patas" es un subconjunto de "animales", pero el conjunto de "minerales" es disjunto (no tiene miembros en común) con "animales"

Un diagrama de Euler que muestra las relaciones entre diferentes objetos del Sistema Solar.

Un diagrama de Euler ( / ɔɪ l ər / , OY -lər ) es una esquemáticas medios de representación de conjuntos y sus relaciones. Son particularmente útiles para explicar jerarquías complejas y definiciones superpuestas. Son similares a otra técnica de diagramación de conjuntos, los diagramas de Venn . A diferencia de los diagramas de Venn, que muestran todas las relaciones posibles entre diferentes conjuntos, el diagrama de Euler muestra solo relaciones relevantes.

El primer uso de los "círculos eulerianos" se atribuye comúnmente al matemático suizo Leonhard Euler (1707-1783). En los Estados Unidos, los diagramas de Venn y Euler se incorporaron como parte de la instrucción en la teoría de conjuntos como parte del nuevo movimiento matemático de la década de 1960. Desde entonces, también han sido adoptados por otros campos curriculares como la lectura ^[1] , así como por organizaciones y empresas.

Los diagramas de Euler consisten en formas cerradas simples en un plano bidimensional que representan un conjunto o categoría. Cómo o si estas formas se superponen demuestra las relaciones entre los conjuntos. Cada curva divide el plano en dos regiones o "zonas": el interior, que representa simbólicamente los elementos del conjunto, y el exterior, que representa todos los elementos que no son miembros del conjunto. Las curvas que no se superponen representan conjuntos disjuntos , que no tienen elementos en común. Dos curvas que se superponen representan conjuntos que se cruzan , que tienen elementos comunes; la zona dentro de ambas curvas representa el conjunto de elementos comunes a ambos conjuntos (la intersección de los conjuntos). Una curva completamente dentro del interior de otra es unasubconjunto de él.

Los diagramas de Venn son una forma más restrictiva de los diagramas de Euler. Un diagrama de Venn debe contener las 2 ⁿ zonas lógicamente posibles de superposición entre sus n curvas, que representan todas las combinaciones de inclusión / exclusión de sus conjuntos constituyentes. Las regiones que no forman parte del conjunto se indican coloreándolas de negro, en contraste con los diagramas de Euler, donde la pertenencia al conjunto se indica mediante la superposición y el color.

Historia

Una página de las Lectures on Logic de Hamilton . El simbolismo A, E, I y O se refieren a los enunciados categóricos que pueden ocurrir en un silogismo . El pequeño texto de la izquierda afirma erróneamente: "El primer empleo de diagramas circulares en lógica atribuidos incorrectamente a Euler. Se encuentra en Christian Weise", un libro escrito en realidad por Johann Christian Lange. ^{[2] [3]}

A la derecha está la página 74 de Couturat 1914 en la que etiqueta las 8 regiones del diagrama de Venn. El nombre moderno de estas "regiones" es minitérminos . Estos se muestran a la izquierda con las variables x, y y z según el dibujo de Venn. El simbolismo es el siguiente: el Y lógico (&) está representado por la multiplicación aritmética, y el NO lógico (~) está representado por "'" después de la variable, por ejemplo, la región x'y'z se lee como "NO x Y NO y Y z ", es decir, ~ x & ~ y & z.

Tanto el diagrama de Veitch como el mapa de Karnaugh muestran todos los términos mínimos , pero el Veitch no es particularmente útil para la reducción de fórmulas. Observe el gran parecido entre los diagramas de Venn y Karnaugh; los colores y las variables x, y y z son según el ejemplo de Venn.

Como se muestra en la ilustración a la derecha, Sir William Hamilton en sus Lectures on Metaphysics and Logic (1858-1860), publicadas póstumamente, afirma erróneamente que el uso original de círculos para "sensualizar ... las abstracciones de la lógica" (p. 180) no fue Leonhard Paul Euler (1707-1783) sino Christian Weise (1642-1708) en su Nucleus Logicae Weisianae que apareció póstumamente en 1712, sin embargo, el último libro fue escrito por Johann Christian Lange en lugar de Weise. ^{[2] [3]} Hace referencia a las Cartas de Euler a una princesa alemana [Partie II, Lettre XXXV, 17 de febrero de 1791, ed. Cournot (1842), págs. 412–417. - ED.] ^{[Nb 1]}

En la ilustración de Hamilton, las cuatro proposiciones categóricas que pueden ocurrir en un silogismo simbolizado por los dibujos A, E, I y O son: ^[4]

• R: El Afirmativo Universal , Ejemplo: "Todos los metales son elementos".
• E: El Negativo Universal , Ejemplo: "Ningún metal es una sustancia compuesta".
• I: El Afirmativo Particular , Ejemplo: "Algunos metales son frágiles".
• O: El negativo particular , ejemplo: "Algunos metales no son frágiles".

En su Capítulo V de la lógica simbólica de 1881 "Representación esquemática", John Venn (1834-1923) comenta la notable prevalencia del diagrama de Euler:

"... de los primeros sesenta tratados de lógica, publicados durante el siglo pasado más o menos, que fueron consultados con este propósito: -algo al azar, ya que resultaban ser los más accesibles: -parecía que treinta y cuatro apelaron en ayuda de diagramas, casi todos ellos haciendo uso del Esquema Euleriano ". (Nota a pie de página 1, página 100)

Compuesto de dos páginas 115-116 de Venn 1881 que muestra su ejemplo de cómo convertir un silogismo de tres partes en su tipo de diagrama. Venn llama a los círculos "círculos eulerianos" (véase Sandifer 2003, Venn 1881: 114, etc.) en el "esquema euleriano" (Venn 1881: 100) de "diagramas eulerianos anticuados" (Venn 1881: 113).

Sin embargo, sostuvo, "la inaplicabilidad de este esquema para los propósitos de una Lógica realmente general" (página 100) y en la página 101 observó que, "Encaja pero mal incluso con las cuatro proposiciones de la Lógica común a las que se aplica normalmente ". Venn termina su capítulo con la observación ilustrada en los ejemplos siguientes: que su uso se basa en la práctica y la intuición, no en una práctica algorítmica estricta :

"De hecho ... esos diagramas no solo no encajan con el esquema ordinario de proposiciones que se emplean para ilustrar, sino que no parecen tener ningún esquema reconocido de proposiciones al que puedan estar consistentemente afiliados". (págs. 124-125)

Finalmente, en su Capítulo XX NOTAS HISTÓRICAS, Venn llega a una crítica crucial (en cursiva en la cita siguiente); observe en la ilustración de Hamilton que O ( Particular Negativo ) e I ( Particular Afirmativo ) simplemente se rotan:

"Llegamos ahora a los círculos bien conocidos de Euler que fueron descritos por primera vez en sus Lettres a une Princesse d'Allemagne (Cartas 102-105). El punto débil de estos consiste en el hecho de que sólo ilustran estrictamente las relaciones reales de clases el uno al otro, en lugar del conocimiento imperfecto de estas relaciones que podemos poseer, o desear transmitir, por medio de la proposición. En consecuencia, no encajarán con las proposiciones de la lógica común, sino que exigirán la constitución de un nuevo grupo de proposiciones elementales apropiadas ... Este defecto debe haberse notado desde el principio en el caso de la afirmativa y la negativa particulares, porque el mismo diagrama se emplea comúnmente para representar a ambas, lo que hace indistintamente bien ". (cursiva agregada: página 424)

(Sandifer 2003 informa que Euler también hace tales observaciones; Euler informa que su figura 45 (una simple intersección de dos círculos) tiene 4 interpretaciones diferentes). En cualquier caso, armado con estas observaciones y críticas, Venn demuestra (págs. 100-125) cómo derivó lo que se conoce como sus diagramas de Venn a partir de los "... diagramas de Euler pasados ​​de moda". En particular, da un ejemplo, que se muestra a la izquierda.

En 1914, Louis Couturat (1868-1914) había etiquetado los términos como se muestra en el dibujo de la derecha. Además, también había etiquetado la región exterior (mostrada como a'b'c '). Explica sucintamente cómo usar el diagrama: hay que tachar las regiones que van a desaparecer:

"El método de VENN se traduce en diagramas geométricos que representan todos los constituyentes, de modo que, para obtener el resultado, solo necesitamos tachar (sombreando) aquellos que los datos del problema hacen desaparecer". (cursiva agregada p. 73)

Dadas las asignaciones de Venn, entonces, las áreas no sombreadas dentro de los círculos se pueden sumar para producir la siguiente ecuación para el ejemplo de Venn:

"No Y es Z y TODO X es Y: por lo tanto, No X es Z" tiene la ecuación x'yz '+ xyz' + x'y'z para el área no sombreada dentro de los círculos (pero esto no es del todo correcto; consulte la siguiente párrafo).

En Venn, el término 0, x'y'z ', es decir, el fondo que rodea los círculos, no aparece. En ninguna parte se discute ni se etiqueta, pero Couturat corrige esto en su dibujo. La ecuación correcta debe incluir esta área sin sombrear que se muestra en negrita:

"No Y es Z y TODO X es Y: por lo tanto, No X es Z" tiene la ecuación x'yz '+ xyz' + x'y'z + x'y'z ' .

En el uso moderno, el diagrama de Venn incluye una "caja" que rodea todos los círculos; esto se llama el universo del discurso o el dominio del discurso .

Couturat ahora observa que, de una manera algorítmica directa (formal, sistemática), no se pueden derivar ecuaciones booleanas reducidas, ni muestra cómo llegar a la conclusión "No X es Z". Couturat concluyó que el proceso "tiene ... serios inconvenientes como método para resolver problemas lógicos":

"No muestra cómo se exhiben los datos cancelando ciertos constituyentes, ni muestra cómo combinar los constituyentes restantes para obtener las consecuencias buscadas. En resumen, solo sirve para exhibir un solo paso en la argumentación, a saber, el ecuación del problema; no prescinde ni de los pasos anteriores, es decir, "arrojar el problema en una ecuación" y la transformación de las premisas, ni de los pasos posteriores, es decir, las combinaciones que conducen a las diversas consecuencias. es de muy poca utilidad, ya que los constituyentes pueden ser representados por símbolos algebraicos tan bien como por regiones planas, y son mucho más fáciles de tratar en esta forma "(p. 75).

Así, el asunto permanecería hasta 1952 cuando Maurice Karnaugh (1924–) adaptaría y ampliaría un método propuesto por Edward W. Veitch ; Este trabajo se basaría en el método de la tabla de verdad definido con precisión en la tesis doctoral de Emil Post de 1921 "Introducción a una teoría general de proposiciones elementales" y la aplicación de la lógica proposicional a la lógica de conmutación por (entre otros) Claude Shannon , George Stibitz y Alan Turing . ^{[nb 2]}Por ejemplo, en el capítulo "Álgebra booleana", Hill y Peterson (1968, 1964) presentan las secciones 4.5ff "Teoría de conjuntos como ejemplo de álgebra booleana", y en ella presentan el diagrama de Venn con sombreado y todo. Dan ejemplos de diagramas de Venn para resolver problemas de circuito de conmutación de ejemplo, pero terminan con esta declaración:

"Para más de tres variables, la forma ilustrativa básica del diagrama de Venn es inadecuada. Sin embargo, son posibles extensiones, la más conveniente de las cuales es el mapa de Karnaugh, que se discutirá en el Capítulo 6." (pág.64)

En el Capítulo 6, sección 6.4 "Representación de funciones booleanas en el mapa de Karnaugh" comienzan con:

"El mapa de Karnaugh ¹ [ ¹ Karnaugh 1953] es una de las herramientas más poderosas en el repertorio del diseñador lógico. ... Un mapa de Karnaugh puede considerarse como una forma pictórica de una tabla de verdad o como una extensión de Venn diagrama." (págs. 103-104)

La historia del desarrollo de Karnaugh de su método de "gráfico" o "mapa" es oscura. Karnaugh en su 1953 hizo referencia a Veitch 1951, Veitch hizo referencia a Claude E. Shannon 1938 (esencialmente la tesis de maestría de Shannon en el MIT ), y Shannon a su vez hizo referencia, entre otros autores de textos lógicos, a Couturat 1914. En el método de Veitch, las variables se ordenan en un rectángulo o cuadrado; como se describe en el mapa de Karnaugh , Karnaugh en su método cambió el orden de las variables para que se correspondan con lo que se conoce como (los vértices de) un hipercubo .

Relación entre los diagramas de Euler y Venn

Ejemplos de pequeños diagramas de Venn (a la izquierda) con regiones sombreadas que representan conjuntos vacíos , que muestran cómo se pueden transformar fácilmente en diagramas de Euler equivalentes (derecha)

Los diagramas de Venn son una forma más restrictiva de los diagramas de Euler. Un diagrama de Venn debe contener las 2 ⁿ zonas lógicamente posibles de superposición entre sus n curvas, que representan todas las combinaciones de inclusión / exclusión de sus conjuntos constituyentes. Las regiones que no forman parte del conjunto se indican coloreándolas de negro, en contraste con los diagramas de Euler, donde la pertenencia al conjunto se indica mediante la superposición y el color. Cuando el número de conjuntos crece más allá de 3, un diagrama de Venn se vuelve visualmente complejo, especialmente en comparación con el diagrama de Euler correspondiente. La diferencia entre los diagramas de Euler y Venn se puede ver en el siguiente ejemplo. Toma los tres conjuntos:

• ${\displaystyle A=\{1,\,2,\,5\}}$
• ${\displaystyle B=\{1,\,6\}}$
• ${\displaystyle C=\{4,\,7\}}$

Los diagramas de Euler y Venn de esos conjuntos son:

• Diagrama de Euler

• diagrama de Venn

En un entorno lógico, se puede utilizar la semántica de la teoría de modelos para interpretar los diagramas de Euler, dentro de un universo de discurso . En los ejemplos siguientes, el diagrama de Euler muestra que los conjuntos Animal y Mineral son disjuntos ya que las curvas correspondientes están disjuntos, y también que el conjunto Four Legs es un subconjunto del conjunto Animal s. El diagrama de Venn, que usa las mismas categorías de Animal , Mineral y Cuatro Patas , no encapsula estas relaciones. Tradicionalmente, el vacío de un conjunto en los diagramas de Venn se representa sombreando la región. Los diagramas de Euler representan la vacuidad ya sea por sombreado o por la ausencia de una región.

A menudo se impone un conjunto de condiciones de buena formación; se trata de restricciones topológicas o geométricas impuestas a la estructura del diagrama. Por ejemplo, se podría imponer la conectividad de las zonas, o se podría prohibir la concurrencia de curvas o puntos múltiples, al igual que la intersección tangencial de curvas. En el diagrama adyacente, ejemplos de pequeños diagramas de Venn se transforman en diagramas de Euler mediante secuencias de transformaciones; algunos de los diagramas intermedios tienen concurrencia de curvas. Sin embargo, este tipo de transformación de un diagrama de Venn con sombreado en un diagrama de Euler sin sombreado no siempre es posible. Hay ejemplos de diagramas de Euler con 9 conjuntos que no se pueden dibujar usando curvas cerradas simples sin la creación de zonas no deseadas, ya que tendrían que tener gráficos duales no planos.

Ejemplo: diagrama de Euler a Venn y mapa de Karnaugh

Este ejemplo muestra los diagramas de Euler y Venn y el mapa de Karnaugh derivando y verificando la deducción "No X s son Z s". En la ilustración y la tabla se utilizan los siguientes símbolos lógicos:

• 1 se puede leer como "verdadero", 0 como "falso"
• ~ para NOT y abreviado como 'al ilustrar los términos mínimos, por ejemplo, x' = _definido NOT x,
• + para Boolean OR (del álgebra booleana : 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 1)
• & (AND lógico) entre proposiciones; en los elementos mínimos Y se omite de manera similar a la multiplicación aritmética: por ejemplo, x'y'z = _definido ~ x & ~ y & z (Del álgebra booleana: 0 * 0 = 0, 0 * 1 = 1 * 0 = 0, 1 * 1 = 1, donde se muestra * para mayor claridad)
• → (IMPLICACIÓN lógica): leído como SI ... ENTONCES ..., o "IMPLICA", P → Q = _definido NO P OR Q

Antes de que pueda presentarse en un diagrama de Venn o en un mapa de Karnaugh, el silogismo del diagrama de Euler "No Y es Z , todo X es Y " debe redactarse primero en el lenguaje más formal del cálculo proposicional : "'No es el caso que : Y Y Z ' Y' Si es una X, entonces una Y ' ". Una vez que las proposiciones se reducen a símbolos y una fórmula proposicional (~ (y & z) & (x → y)), se puede construir la tabla de verdad de la fórmula; a partir de esta tabla se pueden producir fácilmente los mapas de Venn y / o Karnaugh. Mediante el uso de la adyacencia de "1" en el mapa de Karnaugh (indicado por los óvalos grises alrededor de los términos 0 y 1 y alrededor de los términos 2 y 6) se puede "reducir" la ecuación booleana del ejemplo, es decir (x'y'z '+ x'y'z) + (x'yz '+ xyz') a solo dos términos: x'y '+ yz'. Pero los medios para deducir la noción de que "No X es Z", y cómo se relaciona la reducción con esta deducción, no se obtienen de este ejemplo.

Dada una conclusión propuesta como "No X es una Z ", se puede probar si es una deducción correcta o no mediante el uso de una tabla de verdad . El método más fácil es poner la fórmula inicial a la izquierda (abreviarla como P ) y poner la (posible) deducción a la derecha (abreviarla como Q ) y conectar las dos con implicación lógica, es decir, P → Q , leer como SI P ENTONCES Q . Si la evaluación de la tabla de verdad produce todos unos bajo el signo de implicación (→, el llamado conectivo mayor ), entonces P → Qes una tautología . Dado este hecho, se puede "separar" la fórmula de la derecha (abreviada como Q ) de la manera descrita debajo de la tabla de verdad.

Dado el ejemplo anterior, la fórmula para los diagramas de Euler y Venn es:

"No Y s son Z s" y "Todos los X son Y s": (~ (y & z) & (x → y)) = P _definido

Y la deducción propuesta es:

"No X s son Z s": (~ (x & z)) = Q _definido

Entonces ahora la fórmula a evaluar se puede abreviar como:

(~ (y & z) & (x → y)) → (~ (x & z)): P → Q

SI ("No Y s son Z s" y "Todas las X son Y s") ENTONCES ("No X s son Z s")

La tabla de la verdad demuestra que la fórmula (~ (y & z) & (x → y)) → (~ (x & z)) es una tautología como se muestra por todos los 1 en la columna amarilla.

Cuadrado #	Venn, región de Karnaugh		X	y	z		(~	(y	Y	z)	Y	(X	→	y))	→	(~	(X	Y	z))
0	x'y'z '		0	0	0		1	0	0	0	1	0	1	0	1	1	0	0	0
1	x'y'z		0	0	1		1	0	0	1	1	0	1	0	1	1	0	0	1
2	x'yz '		0	1	0		1	1	0	0	1	0	1	1	1	1	0	0	0
3	x'yz		0	1	1		0	1	1	1	0	0	1	1	1	1	0	0	1
4	xy'z '		1	0	0		1	0	0	0	0	1	0	0	1	1	1	0	0
5	xy'z		1	0	1		1	0	0	1	0	1	0	0	1	0	1	1	1
6	xyz '		1	1	0		1	1	0	0	1	1	1	1	1	1	1	0	0
7	xyz		1	1	1		0	1	1	1	0	1	1	1	1	0	1	1	1

En este punto, la implicación anterior P → Q (es decir, ~ (y & z) & (x → y)) → ~ (x & z)) sigue siendo una fórmula, y la deducción - el "desprendimiento" de Q de P → Q - no ha ocurrido. Pero dada la demostración de que P → Q es tautología, el escenario ahora está listo para el uso del procedimiento del modus ponens para "separar" Q: "No X s son Z s" y prescindir de los términos de la izquierda. ^{[nb 3]}

Modus ponens (o "la regla fundamental de inferencia" ^[5] ) a menudo se escribe de la siguiente manera: Los dos términos de la izquierda, P → Q y P , se llaman premisas (por convención unidas por una coma), el símbolo ⊢ significa "cede" (en el sentido de deducción lógica), y el término de la derecha se llama conclusión :

P → Q , P ⊢ Q

Para que el modus ponens tenga éxito, ambas premisas P → Q y P deben ser verdaderas . Porque, como se demostró anteriormente, la premisa P → Q es una tautología, la "verdad" es siempre el caso sin importar cómo se valoren x, y y z, pero la "verdad" es solo el caso de P en aquellas circunstancias en las que P se evalúa como " verdadero "(por ejemplo, filas 0 O 1 O 2 O 6 : x'y'z '+ x'y'z + x'yz' + xyz '= x'y' + yz '). ^{[nb 4]}

P → Q , P ⊢ Q

• es decir: (~ (y & z) & (x → y)) → (~ (x & z)), (~ (y & z) & (x → y)) ⊢ (~ (x & z))
• es decir: SI "No Y s son Z s" y "Todas las X son Y s" ENTONCES "No X s son Z s", "No Y s son Z s" y "Todas las X son Y s" ⊢ "No X s son Z s "

Ahora uno es libre de "separar" la conclusión "No X s son Z s", quizás para usarla en una deducción posterior (o como tema de conversación).

El uso de implicación tautológica significa que existen otras posibles deducciones además de "No X s son Z s"; el criterio para una deducción exitosa es que los 1 bajo el conectivo sub-mayor a la derecha incluyen todos los 1 bajo el conectivo sub-mayor a la izquierda (el conectivo mayor es la implicación que da como resultado la tautología). Por ejemplo, en la tabla de verdad, en el lado derecho de la implicación (→, el símbolo conectivo principal), la columna en negrita debajo del símbolo conectivo sub-principal " ~ " tiene los mismos 1 que aparecen en negrita. columna enfrentada debajo del conector secundario mayor del lado izquierdo & (filas 0 , 1 , 2y 6 ), más dos más (filas 3 y 4 ).

Galería

Un diagrama de Euler en el que se puede hacer clic que muestra las relaciones entre varias organizaciones y acuerdos europeos multinacionales.

• v
• t
• mi

• Un diagrama de Venn muestra todas las posibles intersecciones.

• Diagrama de Euler que visualiza una situación real, las relaciones entre varias organizaciones europeas supranacionales . ( versión en la que se puede hacer clic )

• Diagrama humorístico que compara los diagramas de Euler y Venn .

• Diagrama de Euler de tipos de triángulos , utilizando la definición de que los triángulos isósceles tienen al menos (en lugar de exactamente) 2 lados iguales.

• Diagrama de Euler de la terminología de las Islas Británicas .

• Los 22 (de 256) diagramas de Venn esencialmente diferentes con 3 círculos (arriba) y sus correspondientes diagramas de Euler (abajo)
  Algunos de los diagramas de Euler no son típicos, y algunos incluso son equivalentes a los diagramas de Venn. Las áreas están sombreadas para indicar que no contienen elementos.

Ver también

• Caja arcoiris
• Diagrama de araña : una extensión de los diagramas de Euler que agrega existencia a las intersecciones de contorno.

Notas

1. Para cuando se publicaron estas conferencias de Hamilton, Hamilton también había muerto. Sus editores (simbolizados por ED.), Responsables de la mayor parte de las notas al pie, fueron los lógicos Henry Longueville Mansel y John Veitch .
2. Ver nota a pie de página en George Stibitz .
3. Este es un concepto sofisticado. Russell y Whitehead (2da edición 1927) en sus Principia Mathematica lo describen de esta manera: "La confianza en la inferencia es la creencia de que si las dos afirmaciones anteriores [las premisas P, P → Q] no son erróneas, la afirmación final no es en error ... Una inferencia es la eliminación de una premisa verdadera [sic]; es la disolución de una implicación "(p. 9). Más información sobre esto aparece en "Ideas y proposiciones primitivas" como la primera de sus "proposiciones primitivas" (axiomas): * 1.1 Todo lo que implica una proposición elemental verdadera es verdadero "(p. 94). En una nota al pie, los autores se refieren a la lector de vuelta a 1903 Principios de Matemáticas de Russell§38.
4. Reichenbach discute el hecho de que la implicación P → Q no necesita ser una tautología (una supuesta "implicación tautológica"). Incluso la implicación "simple" (conectiva o adjunta) funciona, pero solo para aquellas filas de la tabla de verdad que se evalúan como verdaderas, cf Reichenbach 1947: 64-66.

Referencias

1. "Estrategias para diagramas de Venn de comprensión lectora" . Archivado desde el original el 29 de abril de 2009 . Consultado el 20 de junio de 2009 .
2. Venn, John (1881). Lógica simbólica . Londres: MacMillan and Co. p. 509.
3. Mac Queen, Gailand (octubre de 1967). El diagrama lógico (PDF) (Tesis). Universidad McMaster . pag. 5. Archivado desde el original (PDF) el 14 de abril de 2017 . Consultado el 14 de abril de 2017 . (NB. Tiene un historial detallado de la evolución de los diagramas lógicos que incluye, entre otros, el diagrama de Euler).
4. Hamilton 1860: 179. Los ejemplos son de Jevons 1881: 71ss.
5. cf Reichenbach 1947: 64

Lectura adicional

Por fecha de publicación:

• Sir William Hamilton 1860 Conferencias sobre metafísica y lógica editadas por Henry Longueville Mansel y John Veitch , William Blackwood and Sons , Edimburgo y Londres.
• W. Stanley Jevons 1880 Lecciones elementales de lógica: deductiva e inductiva. Con numerosas preguntas y ejemplos, y un vocabulario de términos lógicos , MA MacMillan and Co. , Londres y Nueva York.
• Alfred North Whitehead y Bertrand Russell 1913 1ª edición, 1927 2ª edición Principia Mathematica a * 56 Cambridge At The University Press (edición de 1962), Reino Unido, sin ISBN.
• Louis Couturat 1914 El álgebra de la lógica: traducción al inglés autorizada por Lydia Gillingham Robinson con un prefacio de Philip EB Jourdain , The Open Court Publishing Company , Chicago y Londres.
• Emil Post 1921 "Introducción a una teoría general de proposiciones elementales" reimpreso con comentario de Jean van Heijenoort en Jean van Heijenoort, editor 1967 From Frege to Gödel: A Source Book of Mathematical Logic, 1879-1931 , Harvard University Press , Cambridge, MA , ISBN 0-674-32449-8 (pbk.) 
• Claude E. Shannon 1938 "Un análisis simbólico de relés y circuitos de conmutación", Transactions Instituto Americano de Ingenieros Eléctricos vol 57, págs. 471–495. Derivado de Claude Elwood Shannon: Collected Papers editado por NJA Solane y Aaron D. Wyner, IEEE Press , Nueva York.
• Hans Reichenbach 1947 Elements of Symbolic Logic republicado en 1980 por Dover Publications, Inc. , NY, ISBN 0-486-24004-5 . 
• Veitch, Edward Westbrook (3 de mayo de 1952) [2 de mayo de 1952]. "Un método de gráfico para simplificar las funciones de la verdad". Transacciones de la Reunión Anual de la ACM de 1952 . Conferencia anual / Reunión anual de la ACM: Actas de la reunión anual de la ACM de 1952 (Pittsburgh, Pensilvania, EE. UU.). Nueva York, Estados Unidos: Asociación de Maquinaria de Computación (ACM): 127-133. doi : 10.1145 / 609784.609801 .
• Karnaugh, Maurice (noviembre de 1953) [23 de abril de 1953, 17 de marzo de 1953]. "El método de mapa para la síntesis de circuitos lógicos combinacionales" (PDF) . Transacciones del Instituto Americano de Ingenieros Eléctricos, Parte I: Comunicación y Electrónica . 72 (5): 593–599. doi : 10.1109 / TCE.1953.6371932 . Documento 53-217. Archivado desde el original (PDF) el 16 de abril de 2017 . Consultado el 16 de abril de 2017 .
• Frederich J. Hill y Gerald R. Peterson 1968, 1974 Introducción a la teoría de la conmutación y al diseño lógico , John Wiley & Sons , NY, ISBN 978-0-471-39882-0 . 
• Sandifer, Ed (enero de 2004). "Cómo lo hizo Euler" (PDF) . maa.org . Archivado desde el original (PDF) el 26 de enero de 2013.

Enlaces externos

Wikimedia Commons tiene medios relacionados con los diagramas de Euler .

• Diagramas de Euler. Brighton, Reino Unido (2004). ¿Qué son los diagramas de Euler?