En la teoría matemática de los grupos de Lie compactos , los subgrupos de toro desempeñan un papel especial, en particular los subgrupos de toro máximo .
Un toro en un grupo de Lie compacto G es un subgrupo de Lie compacto , conectado y abeliano de G (y por lo tanto isomorfo a [1] el toro estándar T n ). Un toro máximo es uno que es máximo entre esos subgrupos. Es decir, T es un toro máximo si para cualquier toro T ′ que contenga T tenemos T = T ′. Cada toro está contenido en un toro máximo simplemente por dimensionesconsideraciones. Un grupo de Lie no compacto no necesita tener ningún tori no trivial (por ejemplo, R n ).
La dimensión de un toro máxima en G se llama el rango de G . El rango está bien definido ya que todos los toros máximos resultan ser conjugados . Para los grupos semisimple , el rango es igual al número de nodos en el diagrama de Dynkin asociado .
Ejemplos de
El grupo unitario U ( n ) tiene como toro máximo el subgrupo de todas las matrices diagonales . Es decir,
T es claramente isomorfo al producto de n círculos, por lo que el grupo unitario U ( n ) tiene rango n . Un toro máximo en el grupo unitario especial SU ( n ) ⊂ U ( n ) es solo la intersección de T y SU ( n ) que es un toro de dimensión n - 1.
Un toro máximo en el grupo ortogonal especial SO (2 n ) viene dado por el conjunto de todas las rotaciones simultáneas en cualquier elección fija de n planos ortogonales por pares (es decir, espacios vectoriales bidimensionales). Concretamente, el toro máximo consta de todas las matrices diagonales de bloque conbloques diagonales, donde cada bloque diagonal es una matriz de rotación. Este es también un toro máximo en el grupo SO (2 n +1) donde la acción fija la dirección restante. Por tanto, tanto SO (2 n ) como SO (2 n +1) tienen rango n . Por ejemplo, en el grupo de rotación SO (3) los toros máximos están dados por rotaciones alrededor de un eje fijo.
El grupo simpléctico Sp ( n ) tiene rango n . Un toro máxima se da por el conjunto de todas las matrices diagonales cuyas entradas se encuentran todos en un subálgebra complejo fijo de H .
Propiedades
Sea G un grupo de Lie compacto y conectado y seaser el álgebra de Lie de G . El primer resultado principal es el teorema del toro, que se puede formular de la siguiente manera: [2]
- Torus teorema : Si T es uno torus máximos fijados en G , a continuación, cada elemento de G es conjugado a un elemento de T .
Este teorema tiene las siguientes consecuencias:
- Todos los toros máximos en G son conjugados. [3]
- Todo máxima Tori tienen la misma dimensión, conocida como el rango de G .
- Un toro máximo en G es un subgrupo abeliano máximo, pero no es necesario que se mantenga lo contrario. [4]
- Los toros máximos en G son exactamente los subgrupos de Lie correspondientes a las subálgebras abelianas máximas de[5] (cf. subálgebra de Cartan )
- Cada elemento de G se encuentra en un toro máximo; por tanto, el mapa exponencial de G es sobreyectivo.
- Si G tiene dimensión n y rango r entonces n - r es par.
Sistema raíz
Si T es un toro máximo en un grupo de Lie compacto G , se puede definir un sistema de raíces de la siguiente manera. Las raíces son los pesos para la acción adjunta de T en el álgebra de Lie complejizado de G . Para ser más explícito, dejemosdenotar el álgebra de Lie de T , sea denotar el álgebra de Lie de , y deja denotar la complejidad de . Entonces decimos que un elementoes una raíz de G relativa a T si y existe un distinto de cero tal que
para todos . Aquí es un producto interior fijo en que es invariante bajo la acción adjunta de grupos de Lie compactos conectados.
El sistema de raíces, como un subconjunto del álgebra de Lie de T , tiene todas las propiedades habituales de un sistema de raíces, excepto que las raíces pueden no extenderse. [6] El sistema de raíces es una herramienta clave en la comprensión de la clasificación y representación teoría de G .
Grupo Weyl
Dado un toroide T (no necesariamente máxima), el grupo de Weyl de G con respecto a T puede ser definido como el normalizador de T módulo el centralizador de T . Es decir,
Fijar un toro máximo en G; entonces el grupo Weyl correspondiente se llama grupo Weyl de G (depende hasta el isomorfismo de la elección de T ).
Los dos primeros resultados principales sobre el grupo Weyl son los siguientes.
- El centralizador de T en G es igual a T , por lo que el grupo de Weyl es igual a N ( T ) / T . [7]
- El grupo de Weyl se genera por reflexiones sobre las raíces del álgebra de Lie asociada. [8] Por lo tanto, el grupo de Weyl de T es isomorfo al grupo Weyl del sistema de raíces de la álgebra de Lie de G .
A continuación, enumeramos algunas consecuencias de estos resultados principales.
- Dos elementos en T son conjugados si y sólo si son conjugado mediante un elemento de W . Es decir, cada clase de conjugación de G se cruza con T exactamente en una órbita de Weyl . [9] De hecho, el espacio de clases de conjugación en G es homeomorfo al espacio órbita T / W .
- El grupo Weyl actúa mediante automorfismos ( externos ) en T (y su álgebra de Lie).
- El componente de identidad de la normalizador de T también es igual a T . Por tanto, el grupo Weyl es igual al grupo componente de N ( T ).
- El grupo de Weyl es finito.
La teoría de la representación de G se determina esencialmente por T y W .
Como ejemplo, considere el caso con siendo el subgrupo diagonal de . Luego pertenece a si y solo si mapea cada elemento básico estándar a un múltiplo de algún otro elemento básico estándar , es decir, si y solo si permuta los elementos básicos estándar, hasta la multiplicación por algunas constantes. El grupo de Weyl en este caso es entonces el grupo de permutación en elementos.
Fórmula integral de Weyl
Supongamos que f es una función continua en G . Entonces, la integral sobre G de f con respecto a la medida de Haar normalizada dg se puede calcular de la siguiente manera:
dónde es la medida de volumen normalizada en la variedad cociente y es la medida de Haar normalizado en T . [10] Aquí Δ viene dado por la fórmula del denominador de Weyl yes el orden del grupo Weyl. Un caso especial importante de este resultado ocurre cuando f es una función de clase , es decir, una función invariante bajo conjugación. En ese caso, tenemos
Considere como ejemplo el caso , con siendo el subgrupo diagonal. Entonces, la fórmula integral de Weyl para funciones de clase toma la siguiente forma explícita: [11]
Aquí , la medida de Haar normalizada en es , y denota la matriz diagonal con entradas diagonales y .
Ver también
- Grupo compacto
- Subgrupo Cartan
- Subálgebra de cartan
- Álgebra de Toral Lie
- Descomposición de Bruhat
- Fórmula de carácter de Weyl
- Teoría de representación de un grupo de Lie compacto conectado
Referencias
- ^ Teorema 11.2 de Hall 2015
- ^ Salón 2015 Lema 11.12
- ^ Teorema de Hall 2015 11.9
- ^ Teorema de Hall 2015 11.36 y ejercicio 11.5
- ^ Salón 2015 Proposición 11.7
- ^ Salón 2015 Sección 11.7
- ^ Teorema de Hall 2015 11.36
- ^ Teorema de Hall 2015 11.36
- ^ Teorema de Hall 2015 11.39
- ↑ Hall 2015 Teorema 11.30 y Proposición 12.24
- ^ Ejemplo de Hall 2015 11.33
- Adams, JF (1969), Conferencias sobre grupos de mentiras , University of Chicago Press, ISBN 0226005305
- Bourbaki, N. (1982), Groupes et Algèbres de Lie (Capítulo 9) , Éléments de Mathématique, Masson, ISBN 354034392X
- Dieudonné, J. (1977), Grupos de Lie compactos y grupos de Lie semisimple, Capítulo XXI , Tratado de análisis, 5 , Academic Press, ISBN 012215505X
- Duistermaat, JJ; Kolk, A. (2000), grupos de mentiras , Universitext, Springer, ISBN 3540152938
- Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations: An Elementary Introduction , Textos de posgrado en matemáticas, 222 (2a ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
- Helgason, Sigurdur (1978), Geometría diferencial, Grupos de Lie y espacios simétricos , Academic Press, ISBN 0821828487
- Hochschild, G. (1965), La estructura de los grupos de Lie , Holden-Day