Un paralelo de una curva es el
- envolvente de una familia de círculos congruentes centrados en la curva.
Generaliza el concepto de líneas paralelas . También se puede definir como
- curva cuyos puntos están a una distancia normal fija de una curva dada. [1]
Estas dos definiciones no son del todo equivalentes, ya que la última asume suavidad , mientras que la primera no. [2]
En el diseño asistido por computadora, el término preferido para una curva paralela es curva desplazada . [2] [3] [4] (En otros contextos geométricos, el término desplazamiento también puede referirse a traslación . [5] ) Las curvas de desplazamiento son importantes, por ejemplo, en el mecanizado controlado numéricamente , donde describen, por ejemplo, la forma del corte realizado. mediante una herramienta de corte redonda de una máquina de dos ejes. La forma del corte se desvía de la trayectoria del cortador por una distancia constante en la dirección normal a la trayectoria del cortador en cada punto. [6]
En el área de gráficos por computadora 2D conocidos como gráficos vectoriales , el cálculo (aproximado) de curvas paralelas está involucrado en una de las operaciones fundamentales de dibujo, llamado trazo, que generalmente se aplica a polilíneas o polibéziers (a su vez llamados caminos) en ese campo. [7]
Excepto en el caso de una línea o un círculo , las curvas paralelas tienen una estructura matemática más complicada que la curva progenitora. [1] Por ejemplo, incluso si la curva del progenitor es suave , sus compensaciones pueden no serlo; esta propiedad se ilustra en la figura superior, utilizando una curva sinusoidal como curva progenitora. [2] En general, incluso si una curva es racional , sus compensaciones pueden no serlo. Por ejemplo, las compensaciones de una parábola son curvas racionales, pero las compensaciones de una elipse o de una hipérbola no son racionales, aunque estas curvas progenitoras en sí mismas sean racionales. [3]
La noción también se generaliza a las superficies 3D , donde se denomina superficie desplazada . [8] Aumentar un volumen sólido en un desplazamiento de distancia (constante) a veces se denomina dilatación . [9] La operación opuesta a veces se llama bombardeo . [8] Las superficies compensadas son importantes en el mecanizado controlado numéricamente , donde describen la forma del corte realizado por una fresa de punta esférica de una máquina de tres ejes. [10] Se pueden modelar matemáticamente otras formas de brocas de corte mediante superficies de desplazamiento general. [11]
Curva paralela de una curva dada paramétricamente
Si hay una representación paramétrica regular de la curva dada disponible, la segunda definición de una curva paralela (s. arriba) conduce a la siguiente representación paramétrica de la curva paralela con distancia :
- con la unidad normal .
En coordenadas cartesianas:
Parámetro de distancia también puede ser negativo. En este caso, se obtiene una curva paralela en el lado opuesto de la curva (ver diagrama de las curvas paralelas de un círculo). Se comprueba fácilmente: una curva paralela de una línea es una línea paralela en el sentido común y la curva paralela de un círculo es un círculo concéntrico.
Propiedades geométricas: [12]
- eso significa: los vectores tangentes para un parámetro fijo son paralelos.
- con la curvatura de la curva dada y la curvatura de la curva paralela para el parámetro .
- con el radio de curvatura de la curva dada y el radio de curvatura de la curva paralela para el parámetro .
- En cuanto a las líneas paralelas , una línea normal a una curva también es normal a sus paralelas.
- Cuando se construyen curvas paralelas, tendrán cúspides cuando la distancia desde la curva coincida con el radio de curvatura . Estos son los puntos donde la curva toca la evoluta .
- Si la curva progenitora es un límite de un conjunto plano y su curva paralela no tiene auto-intersecciones, entonces este último es el límite de la suma de Minkowski del conjunto plano y el disco del radio dado.
Si la curva dada es polinomial (lo que significa que y son polinomios), entonces las curvas paralelas generalmente no son polinomios. En el área de CAD, esto es un inconveniente, porque los sistemas CAD utilizan polinomios o curvas racionales. Para obtener curvas al menos racionales, la raíz cuadrada de la representación de la curva paralela debe poder resolverse. Estas curvas se denominan curvas de hodógrafa pitagórica y fueron investigadas por RT Farouki. [13]
Curvas paralelas de una curva implícita
Generalmente, la representación analítica de una curva paralela de una curva implícita no es posible. Solo para los casos simples de líneas y círculos, las curvas paralelas se pueden describir fácilmente. Por ejemplo:
- Línea → función de distancia: (Hesse forma normal)
- Circulo → función de distancia:
En general, asumiendo ciertas condiciones, se puede probar la existencia de una función de distancia orientada . En la práctica, hay que tratarlo numéricamente. [14] Teniendo en cuenta las curvas paralelas, se cumple lo siguiente:
- La curva paralela para la distancia d es el nivel establecido de la función de distancia orientada correspondiente .
Propiedades de la función de distancia: [12] [15]
Ejemplo:
el diagrama muestra curvas paralelas de la curva implícita con ecuación
Observación: Las curvas no son curvas paralelas, porque no es cierto en el área de interés.
Más ejemplos
- Las involutas de una curva dada son un conjunto de curvas paralelas. Por ejemplo: las involutas de un círculo son espirales paralelas (ver diagrama).
Y: [16]
- Una parábola tiene como (dos lados) compensa las curvas racionales de grado 6.
- Una hipérbola o una elipse tiene como compensaciones (de dos lados) una curva algebraica de grado 8.
- Una curva de Bézier de grado n tiene como (dos lados) compensaciones curvas algebraicas de grado 4 n - 2 . En particular, una curva de Bezier cúbica tiene como compensaciones (de dos lados) curvas algebraicas de grado 10.
Curva paralela a una curva con esquina
Al determinar la trayectoria de corte de una pieza con una esquina afilada para el mecanizado , debe definir la curva paralela (desplazamiento) a una curva dada que tiene una normal discontinua en la esquina. Aunque la curva dada no es suave en la esquina aguda, su curva paralela puede ser suave con una normal continua, o puede tener cúspides cuando la distancia desde la curva coincide con el radio de curvatura en la esquina aguda.
Ventiladores normales
Como se describió anteriormente , la representación paramétrica de una curva paralela,, a un curver dado, , con distancia es:
- con la unidad normal .
En una esquina cerrada (), lo normal a dada por es discontinuo, es decir, el límite unilateral de la normal desde la izquierda es desigual al límite de la derecha . Matemáticamente,
- .
Sin embargo, podemos definir un ventilador normal [11] que proporciona un interpolador entre y , y use en lugar de en la esquina afilada:
- dónde .
La definición resultante de la curva paralela proporciona el comportamiento deseado:
Algoritmos
Un algoritmo eficaz para la compensación es el enfoque de nivel descrito por Kimel y Bruckstein (1993). [17]
Existen numerosos algoritmos de aproximación para este problema. Para una encuesta de 1997, consulte "Comparación de métodos de aproximación de curvas de compensación" de Elber, Lee y Kim. [18]
Superficies paralelas (desplazadas)
Las superficies compensadas son importantes en el mecanizado controlado numéricamente , donde describen la forma del corte realizado por una fresa de punta esférica de una fresa de tres ejes. [10] Si hay una representación paramétrica regular de la superficie dada disponible, la segunda definición de una curva paralela (ver arriba) se generaliza a la siguiente representación paramétrica de la superficie paralela con distancia :
- con la unidad normal .
Parámetro de distancia también puede ser negativo. En este caso, se obtiene una superficie paralela en el lado opuesto de la superficie (ver diagrama similar en las curvas paralelas de un círculo). Se comprueba fácilmente: una superficie paralela de un plano es un plano paralelo en el sentido común y la superficie paralela de una esfera es una esfera concéntrica.
Propiedades geométricas: [19]
- eso significa: los vectores tangentes para parámetros fijos son paralelos.
- eso significa: los vectores normales para parámetros fijos coinciden con la dirección.
- dónde y son los operadores de forma para y , respectivamente.
- Las curvaturas principales son los valores propios del operador de forma , las direcciones de curvatura principales son sus vectores propios , la curvatura gaussiana es su determinante y la curvatura media es la mitad de su trazo .
- dónde y son las inversas de los operadores de forma para y , respectivamente.
- Los radios de curvatura principales son los valores propios del inverso del operador de forma , las direcciones de curvatura principales son sus vectores propios , el recíproco de la curvatura gaussiana es su determinante y el radio de curvatura medio es la mitad de su trazo .
Tenga en cuenta la similitud con las propiedades geométricas de las curvas paralelas .
Generalizaciones
El problema se generaliza de forma bastante obvia a dimensiones superiores, por ejemplo, a superficies desplazadas, y de forma algo menos trivial a las superficies de las tuberías . [20] Nótese que la terminología para las versiones de dimensiones superiores varía incluso más ampliamente que en el caso plano, por ejemplo, otros autores hablan de fibras, cintas y tubos paralelos. [21] Para curvas incrustadas en superficies 3D, el desplazamiento puede tomarse a lo largo de una geodésica . [22]
Otra forma de generalizarlo es (incluso en 2D) considerar una distancia variable, por ejemplo, parametrizada por otra curva. [19] Se puede, por ejemplo, trazar (envolvente) con una elipse en lugar de un círculo [19] como es posible, por ejemplo, en METAFONT . [23]
Más recientemente, Adobe Illustrator ha agregado una función algo similar en la versión CS5 , aunque los puntos de control para el ancho variable se especifican visualmente. [24] En contextos en los que es importante distinguir entre la compensación de distancia constante y variable, a veces se utilizan las siglas CDO y VDO. [9]
Curvas de compensación general
Suponga que tiene una representación paramétrica regular de una curva, , y tiene una segunda curva que se puede parametrizar por su unidad normal, , donde lo normal de (esta parametrización por normal existe para curvas cuya curvatura es estrictamente positiva o negativa, y por tanto convexas, suaves y no rectas). La representación paramétrica de la curva de desplazamiento general de compensado por es:
- dónde es la unidad normal de .
Tenga en cuenta que el desplazamiento trival, , le da curvas paralelas ordinarias (también conocidas como offset).
Propiedades geométricas: [19]
- eso significa: los vectores tangentes para un parámetro fijo son paralelos.
- En cuanto a las líneas paralelas , una normal a una curva también es normal a sus desplazamientos generales.
- con la curvatura de la curva de desplazamiento general, la curvatura de , y la curvatura de para parámetro .
- con el radio de curvatura de la curva de desplazamiento general, el radio de curvatura de , y el radio de curvatura de para parámetro .
- Cuando se construyen curvas de desplazamiento general, tendrán cúspides cuando la curvatura de la curva coincida con la curvatura del desplazamiento. Estos son los puntos donde la curva toca la evoluta .
Superficies compensadas generales
Las superficies descentradas generales describen la forma de los cortes realizados por una variedad de brocas de corte utilizadas por las fresas de extremo de tres ejes en el mecanizado controlado numéricamente . [11] Suponga que tiene una representación paramétrica regular de una superficie,, y tienes una segunda superficie que se puede parametrizar por su unidad normal, , donde lo normal de (esta parametrización por normal existe para superficies cuya curvatura gaussiana es estrictamente positiva y, por tanto, convexa, suave y no plana). La representación paramétrica de la superficie de desplazamiento general de compensado por es:
- dónde es la unidad normal de .
Tenga en cuenta que el desplazamiento trival, , le brinda superficies paralelas ordinarias (también conocidas como offset).
Propiedades geométricas: [19]
- En cuanto a las líneas paralelas , el plano tangente de una superficie es paralelo al plano tangente de sus desplazamientos generales.
- En cuanto a las líneas paralelas , una normal a una superficie también es normal a sus desplazamientos generales.
- dónde y son los operadores de forma para y , respectivamente.
- Las curvaturas principales son los valores propios del operador de forma , las direcciones de curvatura principales son sus vectores propios , la curvatura gaussiana es su determinante y la curvatura media es la mitad de su trazo .
- dónde y son las inversas de los operadores de forma para y , respectivamente.
- Los radios de curvatura principales son los valores propios del inverso del operador de forma , las direcciones de curvatura principales son sus vectores propios , el recíproco de la curvatura gaussiana es su determinante y el radio de curvatura medio es la mitad de su trazo .
Tenga en cuenta la similitud con las propiedades geométricas de las curvas de desplazamiento generales .
Derivación de propiedades geométricas para compensaciones generales
Las propiedades geométricas enumeradas anteriormente para las curvas y superficies de desplazamiento general se pueden derivar para los desplazamientos de dimensión arbitraria. Suponga que tiene una representación paramétrica regular de una superficie n-dimensional,, donde la dimensión de es n-1. También suponga que tiene una segunda superficie n-dimensional que se puede parametrizar por su unidad normal,, donde lo normal de (esta parametrización por normal existe para superficies cuya curvatura gaussiana es estrictamente positiva y, por tanto, convexa, suave y no plana). La representación paramétrica de la superficie de desplazamiento general de compensado por es:
- dónde es la unidad normal de . (El desplazamiento trival, , le da superficies paralelas ordinarias).
Primero, observe que lo normal de lo normal de por definición. Ahora, aplicaremos el diferencial wrt a , lo que nos da sus vectores tangentes que abarcan su plano tangente.
Observe, los vectores tangentes para son la suma de los vectores tangentes para y su compensación , que comparten la misma unidad normal. Por lo tanto, la superficie de desplazamiento general comparte el mismo plano tangente y normal con y . Eso se alinea con la naturaleza de los sobres.
Ahora consideramos las ecuaciones de Weingarten para el operador de forma , que se puede escribir como. Si es invertable, . Recuerde que las curvaturas principales de una superficie son los valores propios del operador de forma, las direcciones de curvatura principales son sus vectores propios , la curvatura de Gauss es su determinante y la curvatura media es la mitad de su trazo . La inversa del operador de forma tiene estos mismos valores para los radios de curvatura.
Sustituyendo en la ecuación el diferencial de , obtenemos:
- dónde es el operador de forma para .
A continuación, usamos las ecuaciones de Weingarten nuevamente para reemplazar:
- dónde es el operador de forma para .
Entonces, resolvemos y múltiples ambos lados por para volver a las ecuaciones de Weingarten , esta vez para:
Por lo tanto, , e invertir ambos lados nos da, .
Ver también
- Mapeo de relieve
- Función de la distancia y la función de distancia con signo
- Campo de distancia
- Impresión offset
- Barrio tubular
Referencias
- ↑ a b Willson, Frederick Newton (1898). Gráficos teóricos y prácticos . Macmillan. pag. 66 . ISBN 978-1-113-74312-1.
- ^ a b c Devadoss, Satyan L .; O'Rourke, Joseph (2011). Geometría discreta y computacional . Prensa de la Universidad de Princeton. págs. 128-129. ISBN 978-1-4008-3898-1.
- ^ a b Sendra, J. Rafael; Winkler, Franz; Pérez Díaz, Sonia (2007). Curvas algebraicas racionales: un enfoque de álgebra por computadora . Springer Science & Business Media. pag. 10. ISBN 978-3-540-73724-7.
- ^ Agoston, Max K. (2005). Gráficos por Computadora y Modelado Geométrico: Matemáticas . Springer Science & Business Media. pag. 586. ISBN 978-1-85233-817-6.
- ^ Vince, John (2006). Geometría para infografías: fórmulas, ejemplos y pruebas . Springer Science & Business Media. pag. 293. ISBN 978-1-84628-116-7.
- ^ Marsh, Duncan (2006). Geometría aplicada para gráficos por computadora y CAD (2ª ed.). Springer Science & Business Media. pag. 107. ISBN 978-1-84628-109-9.
- ^ http://www.slideshare.net/Mark_Kilgard/22pathrender , p. 28
- ^ a b Agoston, Max K. (2005). Computación gráfica y modelado geométrico . Springer Science & Business Media. págs. 638–645. ISBN 978-1-85233-818-3.
- ^ a b http://www.cc.gatech.edu/~jarek/papers/localVolume.pdf , p. 3
- ^ a b Falso, identificación; Pratt, Michael J. (1979). Geometría Computacional para Diseño y Fabricación . Prensa de Halsted. ISBN 978-0-47026-473-7. OCLC 4859052 .
- ^ a b c Brechner, Eric (1990). Envolventes y trayectorias de herramientas para fresado de tres ejes (PhD). Instituto Politécnico Rensselaer.
- ^ a b E. Hartmann: Geometría y algoritmos para DISEÑO ASISTIDO POR COMPUTADORA. S. 30.
- ^ Rida T. Farouki: Curvas pitagóricas- hodógrafa: Álgebra y geometría inseparables (geometría y computación). Springer, 2008, ISBN 978-3-540-73397-3 .
- ^ E. Hartmann: Geometría y algoritmos para DISEÑO ASISTIDO POR COMPUTADORA. S. 81, S. 30, 41, 44.
- ^ JA Thorpe: temas elementales en geometría diferencial , Springer-Verlag, 1979, ISBN 0-387-90357-7 .
- ^ http://faculty.engineering.ucdavis.edu/farouki/wp-content/uploads/sites/41/2013/02/Introduction-to-PH-curves.pdf , p. 16 "taxonomía de curvas compensadas"
- ^ Kimmel y Bruckstein (1993) Desplazamientos de forma mediante conjuntos de niveles CAD (diseño asistido por ordenador) 25 (3): 154-162.
- ^ http://www.computer.org/csdl/mags/cg/1997/03/mcg1997030062.pdf
- ^ a b c d e Brechner, Eric L. (1992). "5. Desplazamiento general de curvas y superficies". En Barnhill, Robert E. (ed.). Procesamiento de geometría para diseño y fabricación . SIAM. págs. 101–. ISBN 978-0-89871-280-3.
- ^ Pottmann, Helmut; Wallner, Johannes (2001). Geometría lineal computacional . Springer Science & Business Media. págs. 303-304. ISBN 978-3-540-42058-3.
- ^ Chirikjian, Gregory S. (2009). Modelos estocásticos, teoría de la información y grupos de mentiras, volumen 1: resultados clásicos y métodos geométricos . Springer Science & Business Media. págs. 171-175. ISBN 978-0-8176-4803-9.
- ^ Sarfraz, Muhammad, ed. (2003). Avances en modelado geométrico . Wiley. pag. 72. ISBN 978-0-470-85937-7.
- ^ https://www.tug.org/TUGboat/tb16-3/tb48kinc.pdf
- ^ http://design.tutsplus.com/tutorials/illustrator-cs5-variable-width-stroke-tool-perfect-for-making-tribal-designs--vector-4346 aplicación de la versión generalizada en Adobe Illustrator CS5 (también video )
- Josef Hoschek: Desplazamiento de curvas en el plano. En: CAD. 17 (1985), págs. 77–81.
- Takashi Maekawa: descripción general de superficies y curvas de desfase. En: CAD. 31 (1999), S. 165-173.
Otras lecturas
- Farouki, RT; Neff, CA (1990). "Propiedades analíticas de curvas de desplazamiento plano". Diseño geométrico asistido por computadora . 7 (1–4): 83–99. doi : 10.1016 / 0167-8396 (90) 90023-K .
- Piegl, Les A. (1999). "Cálculo de compensaciones de curvas y superficies NURBS". Diseño asistido por computadora . 31 (2): 147-156. CiteSeerX 10.1.1.360.2793 . doi : 10.1016 / S0010-4485 (98) 00066-9 .
- Porteous, Ian R. (2001). Diferenciación geométrica: para la inteligencia de curvas y superficies (2ª ed.). Prensa de la Universidad de Cambridge. págs. 1–25. ISBN 978-0-521-00264-6.
- Patrikalakis, Nicholas M .; Maekawa, Takashi (2010) [2002]. Interrogación de formas para diseño y fabricación asistidos por computadora . Springer Science & Business Media. Capítulo 11. Desplazamiento de curvas y superficies. ISBN 978-3-642-04074-0. Versión online gratuita .
- Anton, François; Emiris, Ioannis Z .; Mourrain, Bernard; Teillaud, Monique (mayo de 2005). "La O fijada a una curva algebraica y una aplicación a las cónicas". Congreso Internacional de Ciencias Computacionales y sus Aplicaciones . Singapur: Springer Verlag. págs. 683–696.
- Farouki, Rida T. (2008). Curvas pitagóricas-hodógrafa: álgebra y geometría inseparables . Springer Science & Business Media. págs. 141-178. ISBN 978-3-540-73397-3. Las páginas enumeradas son el material general e introductorio.
- Au, CK; Ma, Y.-S. (2013). "Cálculo de curvas de compensación mediante una función de distancia: abordar un desafío clave en la generación de la trayectoria de la herramienta de corte". En Ma, Y.-S. (ed.). Modelado semántico e interoperabilidad en la ingeniería de productos y procesos: una tecnología para la informática de la ingeniería . Springer Science & Business Media. págs. 259-273. ISBN 978-1-4471-5073-2.
enlaces externos
- Curvas paralelas en MathWorld
- Diccionario visual de curvas planas Xah Lee
- http://library.imageworks.com/pdfs/imageworks-library-offset-curve-deformation-from-Skeletal-Anima.pdf aplicación a la animación; patentado como http://www.google.com/patents/US8400455
- http://www2.uah.es/fsegundo/Otros/Offset/16-SanSegundoSendraSendra-1532.pdf