Celosía (orden)

Una celosía es una estructura abstracta estudiada en las subdisciplinas matemáticas de la teoría de órdenes y el álgebra abstracta . Consiste en un conjunto parcialmente ordenado en el que cada par de elementos tiene un supremum único (también llamado límite superior mínimo o unión ) y un infimum único (también llamado límite inferior mayor o encuentro ). Un ejemplo lo da el conjunto de potencias de un conjunto, parcialmente ordenado por inclusión , para el cual el supremum es la unión y el infimum es la intersección . Otro ejemplo lo da elnúmeros naturales , parcialmente ordenados por divisibilidad , para los cuales el supremo es el mínimo común múltiplo y el mínimo es el máximo común divisor .

Las celosías también se pueden caracterizar como estructuras algebraicas que satisfacen ciertas identidades axiomáticas . Dado que las dos definiciones son equivalentes, la teoría de celosía se basa tanto en la teoría de órdenes como en el álgebra universal . Las semirrejillas incluyen rejillas, que a su vez incluyen álgebras de Heyting y Boolean . Todas estas estructuras enrejados admiten descripciones tanto teóricas como algebraicas.

Si es un conjunto parcialmente ordenado (poset), y es un subconjunto arbitrario, entonces se dice que un elemento es un límite superior de si para cada conjunto A puede tener muchos límites superiores, o ninguno en absoluto. Se dice que un límite superior de es su límite superior mínimo , o unión , o supremo , si para cada límite superior de Un conjunto no necesita tener un límite superior mínimo, pero no puede tener más de uno. ^{[nota 1]} Dualmente , se dice que es un límite inferior de si para cada A límite inferior${\ Displaystyle (L, \ leq)}$${\ Displaystyle S \ subseteq L}$${\ Displaystyle u \ in L}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle s \ leq u}$${\ Displaystyle s \ en S.}$${\ Displaystyle u}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle u \ leq x}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle S.}$ ${\ Displaystyle l \ in L}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle l \ leq s}$${\ Displaystyle s \ en S.}$${\ Displaystyle l}$de se dice que es su mayor límite inferior , o encuentro , o infimum , si para cada límite inferior de A, un conjunto puede tener muchos límites inferiores, o ninguno en absoluto, pero puede tener como máximo un límite inferior mayor. ^{[nota 1]}${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle x \ leq l}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle S.}$

Foto. : 8 poset no celosía: y tiene límites inferiores comunes y pero ninguno de ellos es el mayor límite inferior .${\ Displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle 0,d,g,h,}$${\displaystyle i,}$

Foto. : 7 poset no celosía: y tiene límites superiores comunes y pero ninguno de ellos es el extremo superior .${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle d,e,}$${\displaystyle f,}$

Foto. 6: Poset sin celosía: y no tienen límite superior común.${\displaystyle c}$${\displaystyle d}$

Foto. 9: Mapa monótono entre celosías que no conserva ni une ni encuentra, ya que y${\displaystyle f}$${\displaystyle f(u)\vee f(v)=u^{\prime }\vee u^{\prime }=u^{\prime }}$ ${\displaystyle \neq }$ ${\displaystyle 1^{\prime }=f(1)=f(u\vee v)}$${\displaystyle f(u)\wedge f(v)=u^{\prime }\wedge u^{\prime }=u^{\prime }}$ ${\displaystyle \neq }$ ${\displaystyle 0^{\prime }=f(0)=f(u\wedge v).}$

Foto. 11: Celosía no modular (y por lo tanto no distributiva) más pequeña N ₅ .
Los elementos etiquetados violan la ecuación de distributividad pero satisfacen su doble${\displaystyle c\wedge (a\vee b)=(c\wedge a)\vee (c\wedge b),}$${\displaystyle c\vee (a\wedge b)=(c\vee a)\wedge (c\vee b).}$

Foto. 10: Celosía no distributiva (pero modular) más pequeña M ₃ .