En matemáticas , el infimum (abreviado inf ; infima plural ) de un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado es el mayor elemento en que es menor o igual a todos los elementos de si tal elemento existe. [1] En consecuencia, el término límite inferior máximo (abreviado como GLB ) también se usa comúnmente. [1]
El supremum (abreviado sup ; suprema plural ) de un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado es el elemento menor en que es mayor o igual a todos los elementos de si tal elemento existe. [1] En consecuencia, el supremum también se conoce como el límite superior mínimo (o LUB ). [1]
El infimum es, en un sentido preciso, dual con el concepto de supremum. Infima y suprema de números reales son casos especiales comunes que son importantes en el análisis , y especialmente en la integración de Lebesgue . Sin embargo, las definiciones generales siguen siendo válidas en el contexto más abstracto de la teoría del orden donde se consideran conjuntos arbitrarios parcialmente ordenados.
Los conceptos de infimum y supremum son similares a mínimo y máximo , pero son más útiles en el análisis porque caracterizan mejor conjuntos especiales que pueden no tener mínimo o máximo . Por ejemplo, el conjunto de números reales positivos (sin incluir 0) no tiene un mínimo, porque cualquier elemento dado de podría simplemente dividirse por la mitad, lo que da como resultado un número más pequeño que todavía está en . Sin embargo, hay exactamente un mínimo de los números reales positivos: 0, que es más pequeño que todos los números reales positivos y mayor que cualquier otro número real que pueda usarse como límite inferior.
Definicion formal
Un límite inferior de un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado es un elemento de tal que
- para todos
Un límite inferior de se llama un mínimo (o máximo límite inferior , o encuentro ) de Si
- para todos los límites inferiores de en ( es mayor o igual que cualquier otro límite inferior).
De manera similar, un límite superior de un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado es un elemento de tal que
- para todos
Un límite superior de se llama supremum (o al menos límite superior , o unión ) de Si
- para todos los límites superiores de en ( es menor que cualquier otro límite superior).
Existencia y singularidad
Infima y suprema no existen necesariamente. Existencia de un mínimo de un subconjunto de puede fallar si no tiene límite inferior en absoluto, o si el conjunto de límites inferiores no contiene un elemento mayor. Sin embargo, si existe un infimum o supremum, es único.
En consecuencia, los conjuntos parcialmente ordenados para los que se sabe que existen ciertos infima se vuelven especialmente interesantes. Por ejemplo, un retículo es un conjunto parcialmente ordenado en el que todos los subconjuntos finitos no vacíos tienen tanto un supremum como un infimum, y un retículo completo es un conjunto parcialmente ordenado en el que todos los subconjuntos tienen tanto un supremum como un infimum. Más información sobre las diversas clases de conjuntos parcialmente ordenados que surgen de tales consideraciones se encuentra en el artículo sobre propiedades de completitud .
Si el supremo de un subconjunto existe, es único. Sicontiene un elemento más grande, entonces ese elemento es el supremo; de lo contrario, el supremum no pertenece a(o no existe). Asimismo, si existe el infimum, es único. Sicontiene un elemento mínimo, entonces ese elemento es el mínimo; de lo contrario, el infimum no pertenece a (o no existe).
Relación con elementos máximos y mínimos
El mínimo de un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado asumiendo que existe, no necesariamente pertenece a Si es así, es un elemento mínimo o mínimo de Del mismo modo, si el supremo de pertenece a es un elemento máximo o más grande de
Por ejemplo, considere el conjunto de números reales negativos (excluyendo el cero). Este conjunto no tiene el elemento más grande, ya que para cada elemento del conjunto, hay otro elemento más grande. Por ejemplo, para cualquier número real negativo hay otro número real negativo , que es mayor. Por otro lado, todo número real mayor o igual a cero es ciertamente un límite superior en este conjunto. Por lo tanto, 0 es el límite superior mínimo de los reales negativos, por lo que el supremo es 0. Este conjunto tiene un elemento superior pero no mayor.
Sin embargo, la definición de elementos máximos y mínimos es más general. En particular, un conjunto puede tener muchos elementos máximos y mínimos, mientras que infima y suprema son únicos.
Mientras que los máximos y mínimos deben ser miembros del subconjunto que se está considerando, el mínimo y el superior de un subconjunto no necesitan ser miembros de ese subconjunto en sí mismos.
Límites superiores mínimos
Finalmente, un conjunto parcialmente ordenado puede tener muchos límites superiores mínimos sin tener un límite superior mínimo. Los límites superiores mínimos son aquellos límites superiores para los que no hay un elemento estrictamente más pequeño que también sea un límite superior. Esto no significa que cada límite superior mínimo sea más pequeño que todos los demás límites superiores, simplemente no es mayor. La distinción entre "mínimo" y "mínimo" solo es posible cuando el orden dado no es total . En un conjunto totalmente ordenado, como los números reales, los conceptos son los mismos.
Como ejemplo, dejemos ser el conjunto de todos los subconjuntos finitos de números naturales y considerar el conjunto parcialmente ordenado obtenido al tomar todos los conjuntos de junto con el conjunto de enteros y el conjunto de números reales positivos , ordenados por inclusión de subconjuntos como se indicó anteriormente. Entonces claramente ambos y son mayores que todos los conjuntos finitos de números naturales. Sin embargo, tampoco menor que tampoco es cierto lo contrario: ambos conjuntos son límites superiores mínimos pero ninguno es un supremo.
Propiedad de límite mínimo superior
La propiedad de límite superior mínimo es un ejemplo de las propiedades de completitud mencionadas anteriormente que es típica para el conjunto de números reales. Esta propiedad a veces se denomina completitud de Dedekind .
Si un conjunto ordenado tiene la propiedad de que todo subconjunto no vacío de tener un límite superior también tiene un límite superior mínimo, entonces se dice que tiene la propiedad de límite superior mínimo. Como se señaló anteriormente, el conjuntode todos los números reales tiene la propiedad de límite superior mínimo. Del mismo modo, el conjuntode enteros tiene la propiedad de límite superior mínimo; Si es un subconjunto no vacío de y hay un numero tal que cada elemento de es menor o igual que entonces hay un límite superior mínimo por un número entero que es un límite superior para y es menor o igual que cualquier otro límite superior para Un conjunto bien ordenado también tiene la propiedad de límite superior mínimo, y el subconjunto vacío también tiene un límite superior mínimo: el mínimo de todo el conjunto.
Un ejemplo de un conjunto que carece de la propiedad de límite superior mínimo es, el conjunto de números racionales. Dejar ser el conjunto de todos los números racionales tal que Luego tiene un límite superior por ejemplo, o ) pero no menos límite superior en : Si suponemos es el límite superior mínimo, se deduce inmediatamente una contradicción porque entre dos reales cualesquiera y (incluso y ) existe algo racional , que a su vez tendría que ser el límite superior mínimo (si ) o un miembro de mas grande que (Si ). Otro ejemplo son los hiperrealistas ; no hay límite superior mínimo del conjunto de infinitesimales positivos.
Existe una propiedad correspondiente de límite máximo-inferior ; un conjunto ordenado posee la propiedad del límite inferior más grande si y solo si también posee la propiedad del límite superior mínimo; el límite superior mínimo del conjunto de límites inferiores de un conjunto es el límite inferior más grande, y el límite inferior más grande del conjunto de límites superiores de un conjunto es el límite superior mínimo del conjunto.
Si en un conjunto parcialmente ordenado cada subconjunto acotado tiene un supremo, esto se aplica también, para cualquier conjunto en el espacio de funciones que contiene todas las funciones de a dónde si y solo si para todos en Por ejemplo, se aplica a funciones reales y, dado que pueden considerarse casos especiales de funciones, a funciones reales. -tuplas y secuencias de números reales.
La propiedad del límite superior mínimo es un indicador del suprema.
Infima y suprema de números reales
En análisis , infima y suprema de subconjuntosde los números reales son particularmente importantes. Por ejemplo, los números reales negativos no tienen un elemento mayor, y su supremo es(que no es un número real negativo). [1] La integridad de los números reales implica (y es equivalente a) que cualquier subconjunto no vacío acotadode los números reales tiene un mínimo y un superior. Si no está delimitado por debajo, a menudo se escribe formalmente Si está vacío , uno escribe
Propiedades
Las siguientes fórmulas dependen de una notación que generaliza convenientemente las operaciones aritméticas en conjuntos: y escalar Definir
- si y solo si y de lo contrario [2]
- ; el producto escalar de un conjunto es solo el escalar multiplicado por cada elemento del conjunto.
- ; llamada suma de Minkowski , es la suma aritmética de dos conjuntos es la suma de todos los posibles pares de números, uno de cada conjunto.
- ; el producto aritmético de dos conjuntos son todos productos de pares de elementos, uno de cada conjunto.
En aquellos casos donde el infima y suprema de los conjuntos y existen, se mantienen las siguientes identidades:
- si y solo si para cada hay un con y para cada
- si y solo si para cada hay un con y para cada
- Si y entonces y
- Si luego y
- Si luego y
- y
- Si y son conjuntos no vacíos de números reales positivos entonces y de manera similar para suprema . [3]
- Si no está vacío y si luego donde esta ecuación también se cumple cuando si la definicion se utiliza. [nota 1] Esta igualdad se puede escribir alternativamente como Es más, si y solo si donde si [nota 1] luego
Dualidad
Si uno denota por the partially-ordered set with the opposite order relation, i.e.
- in if and only if in
then infimum of a subset in equals the supremum of in and vice versa.
For subsets of the real numbers, another kind of duality holds: inf S = −sup(−S), where
Ejemplos de
Infima
- The infimum of the set of numbers {2, 3, 4} is 2. The number 1 is a lower bound, but not the greatest lower bound, and hence not the infimum.
- More generally, if a set has a smallest element, then the smallest element is the infimum for the set. In this case, it is also called the minimum of the set.
- If x is a decreasing sequence with limit x, then inf x = x.
Suprema
- The supremum of the set of numbers {1, 2, 3} is 3. The number 4 is an upper bound, but it is not the least upper bound, and hence is not the supremum.
In the last example, the supremum of a set of rationals is irrational, which means that the rationals are incomplete.
One basic property of the supremum is
for any functionals and
The supremum of a subset of (ℕ,|) where | denotes "divides", is the lowest common multiple of the elements of
The supremum of a subset of (P,⊆), where is the power set of some set, is the supremum with respect to ⊆ (subset) of a subset of is the union of the elements of
Ver también
- Essential supremum and essential infimum
- Greatest element and least element
- Maximal and minimal elements
- Limit superior and limit inferior (infimum limit)
- Upper and lower bounds
Notas
- ^ a b The definition is commonly used with the extended real numbers; in fact, with this definition the equality will also hold for any non-empty subset However, the notation is usually left undefined, which is why the equality is given only for when
Referencias
- ^ a b c d e Rudin, Walter (1976). ""Chapter 1 The Real and Complex Number Systems"". Principles of Mathematical Analysis (print) (3rd ed.). McGraw-Hill. p. 4. ISBN 0-07-054235-X.
- ^ Rockafellar & Wets 2009, pp. 1-2.
- ^ Zakon, Elias (2004). Mathematical Analysis I. Trillia Group. pp. 39–42.
- Rockafellar, R. Tyrrell; Wets, Roger J.-B. (26 June 2009). Variational Analysis. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 317. Berlin New York: Springer Science & Business Media. ISBN 9783642024313. OCLC 883392544.
enlaces externos
- "Upper and lower bounds", Encyclopedia of Mathematics, EMS Press, 2001 [1994]
- Breitenbach, Jerome R. & Weisstein, Eric W. "Infimum and supremum". MathWorld.