Transformación geométrica
En matemáticas , una transformación geométrica es cualquier biyección de un conjunto consigo mismo (o con otro conjunto similar) con alguna base geométrica sobresaliente. Más específicamente, es una función cuyo dominio y rango son conjuntos de puntos, generalmente ambos o ambos , de modo que la función es inyectiva , por lo que existe su inversa . [1] El estudio de la geometría puede abordarse a través del estudio de estas transformaciones. [2]
Las transformaciones geométricas se pueden clasificar por la dimensión de sus conjuntos de operandos (distinguiendo así entre, digamos, transformaciones planas y transformaciones espaciales). También se pueden clasificar según las propiedades que conservan:
Muchas transformaciones geométricas se expresan con álgebra lineal. Las transformaciones lineales biyectivas son elementos de un grupo lineal general . La transformación lineal A no es singular. Para un vector fila v , el producto de matriz vA da otro vector fila w = vA .
La transpuesta de un vector de fila v es un vector de columna v T , y la transpuesta de la igualdad anterior es Aquí A T proporciona una acción izquierda en los vectores de columna.
En geometría de transformación hay composiciones AB . Comenzando con un vector fila v , la acción correcta de la transformación compuesta es w = vAB . Después de la transposición,
Así, para AB , la acción del grupo izquierdo asociado es En el estudio de los grupos opuestos , la distinción se hace entre las acciones del grupo opuesto, ya que los únicos grupos para los que estos opuestos son iguales son los grupos conmutativos.
