La función gamma es una función especial importante en matemáticas . Sus valores particulares se pueden expresar en forma cerrada para enteros y medio enteros argumentos, pero no hay expresiones simples son conocidos por los valores en racionales puntos en general. Se pueden aproximar otros argumentos fraccionarios mediante productos infinitos eficientes, series infinitas y relaciones de recurrencia.
Enteros y medios enteros
Para argumentos enteros positivos, la función gamma coincide con el factorial . Es decir,
y por lo tanto
y así. Para enteros no positivos, la función gamma no está definida.
Para semieros positivos, los valores de la función vienen dados exactamente por
o de manera equivalente, para valores enteros no negativos de n :
Se desconoce si estas constantes son trascendentales en general, pero Γ (1/3) y Γ ( 1/4) fueron trascendentales por GV Chudnovsky . Γ ( 1/4) / 4 √ π también se sabe desde hace mucho tiempo que es trascendental, y Yuri Nesterenko demostró en 1996 que Γ ( 1/4) , Π y e π son algebraicamente independientes .
donde δ es la constante de Masser-Gramain OEIS : A086058 , aunque el trabajo numérico de Melquiond et al. indica que esta conjetura es falsa. [1]
Borwein y Zucker han descubierto que Γ ( norte/24) se puede expresar algebraicamente en términos de π , K ( k (1)) , K ( k (2)) , K ( k (3)) y K ( k (6)) donde K ( k ( N )) es una integral elíptica completa del primer tipo . Esto permite aproximar de manera eficiente la función gamma de argumentos racionales con alta precisión utilizando iteraciones de medias aritmético-geométricas cuadráticamente convergentes . No se conocen relaciones similares para Γ ( 1/5) u otros denominadores.
donde A es la constante Glaisher-Kinkelin y G es la constante de Catalán .
Las siguientes dos representaciones para Γ ( 3/4) fueron dadas por I. Mező [3]
y
donde ϑ 1 y ϑ 4 son dos de las funciones theta de Jacobi .
Productos
Algunas identidades de productos incluyen:
OEIS : A186706
OEIS : A220610
En general:
De esos productos se pueden deducir otros valores, por ejemplo, de las ecuaciones anteriores para , y , se puede deducir:
Otras relaciones racionales incluyen
[4]
y muchas más relaciones para Γ ( norte/D) donde el denominador d divide 24 o 60. [5]
Los cocientes gamma con valores algebraicos deben estar "equilibrados" en el sentido de que la suma de los argumentos es la misma (módulo 1) para el denominador y el numerador.
Un ejemplo más sofisticado:
[6]
Argumentos imaginarios y complejos
La función gamma en la unidad imaginaria i = √ −1 da OEIS : A212877 , OEIS : A212878 :
También puede ser dada en términos de la Barnes G -Función :
Suficientemente curioso, aparece en la siguiente evaluación integral: [7]
Aquí denota la parte fraccionaria .
Debido a la fórmula de reflexión de Euler y al hecho de que, tenemos una expresión para el módulo al cuadrado de la función Gamma evaluada en el eje imaginario:
Por lo tanto, la integral anterior se relaciona con la fase de .
La función gamma con otros argumentos complejos devuelve
Otras constantes
La función gamma tiene un mínimo local en el eje real positivo
OEIS : A030169
con el valor
OEIS : A030171 .
La integración de la función gamma recíproca a lo largo del eje real positivo también da la constante de Fransén-Robinson .
En el eje real negativo, los primeros máximos y mínimos locales (ceros de la función digamma ) son:
Extremos locales aproximados de Γ ( x )
X
Γ ( x )
OEIS
−0,504 083 008 264 455 409 258 269 3045
-3,544 643 611 155 005 089 121 963 9933
OEIS : A175472
−1,573 498 473 162 390 458 778 286 0437
-2.302 407 258 339 680 135 823 582 0396
OEIS : A175473
-2,610 720 868 444 144 650 001 537 7157
-0,888 136 358 401 241 920 095 528 0294
OEIS : A175474
-3.635 293 366 436 901 097 839 181 5669
-0.245 127 539 834 366 250 438 230 0889
OEIS : A256681
−4.653 237 761 743 142 441 714 598 1511
-0.052 779 639 587 319 400 760 483 5708
OEIS : A256682
-5,667 162 441 556 885 535 849 474 1 745
-0.009 324 594 482 614 850 521 711 9238
OEIS : A256683
−6,678 418 213 073 426 742 829 855 8886
-0,001 397 396 608 949 767 301 307 4887
OEIS : A256684
-7.687 788 325 031 626 037 440 098 8918
-0.000 181 878 444 909 404 188 101 4174
OEIS : A256685
-8,695 764 163 816 401 266 488 776 1 608
-0.000 020 925 290 446 526 668 753 6973
OEIS : A256686
-9.702 672 540 001 863 736 084 426 7649
-0.000 002 157 416 104 522 850 540 5031
OEIS : A256687
Ver también
Fórmula de Chowla-Selberg
Referencias
^ Melquiond, Guillaume; Nowak, W. Georg; Zimmermann, Paul (2013). "Aproximación numérica de la constante de Masser-Gramain a cuatro decimales" . Matemáticas. Comp . 82 (282): 1235-1246. doi : 10.1090 / S0025-5718-2012-02635-4 .
^"Copia archivada" . Consultado el 9 de marzo de 2015 .
^Mező, István (2013), "Fórmulas de duplicación que involucran funciones theta de Jacobi y q -funciones trigonométricas de Gosper ", Proceedings of the American Mathematical Society , 141 (7): 2401–2410, doi : 10.1090 / s0002-9939-2013-11576- 5
^Weisstein, Eric W. "Función gamma" . MathWorld .
^ Raimundas Vidūnas, Expresiones de valores de la función gamma
^ math.stackexchange.com
^ La página web de István Mező
Gramain, F. (1981). "Sur le théorème de Fukagawa-Gel'fond" . Inventar. Matemáticas . 63 (3): 495–506. Código Bibliográfico : 1981InMat..63..495G . doi : 10.1007 / BF01389066 .
Borwein, JM; Zucker, IJ (1992). "Evaluación rápida de la función gamma para pequeñas fracciones racionales utilizando integrales elípticas completas de primer tipo". Revista IMA de análisis numérico . 12 (4): 519-526. doi : 10.1093 / imanum / 12.4.519 . Señor 1186733 .
X. Gourdon y P. Sebah. Introducción a la función Gamma
S. Finch. Constantes de función gamma de Euler [ enlace muerto ]
Weisstein, Eric W. "Función gamma" . MathWorld .
Vidunas, Raimundas (2005). "Expresiones para valores de la función gamma". Kyushu Journal of Mathematics . 59 (2): 267–283. arXiv : matemáticas.CA / 0403510 . doi : 10.2206 / kyushujm.59.267 .
Vidunas, Raimundas (2005). "Expresiones para valores de la función gamma". Kyushu J. Math . 59 (2): 267–283. arXiv : matemáticas / 0403510 . doi : 10.2206 / kyushujm.59.267 . Señor 2188592 .
Adamchik, VS (2005). "Función Gamma múltiple y su aplicación al cómputo de series" (PDF) . El diario Ramanujan . 9 (3): 271–288. arXiv : matemáticas / 0308074 . doi : 10.1007 / s11139-005-1868-3 . Señor 2173489 .
Duke, W .; Imamoglu, Ö. (2006). "Valores especiales de múltiples funciones gamma" (PDF) . Journal de Théorie des Nombres de Bordeaux . 18 (1): 113–123. doi : 10.5802 / jtnb.536 . Señor 2245878 .