En álgebra abstracta , un subconjunto de un campo es algebraicamente independiente sobre un subcampo si los elementos de no satisfacen ninguna ecuación polinomial no trivial con coeficientes en.
En particular, un conjunto de un elemento es algebraicamente independiente sobre si y solo si es trascendental sobre. En general, todos los elementos de un conjunto algebraicamente independiente encima son por necesidad trascendentales sobre , y sobre todas las extensiones de campo sobre generado por los elementos restantes de .
Ejemplo
Los dos números reales y son números trascendentales : no son las raíces de ningún polinomio no trivial cuyos coeficientes sean números racionales . Por tanto, cada uno de los dos conjuntos singleton y son algebraicamente independientes sobre el campo de números racionales.
Sin embargo, el conjunto no es algebraicamente independiente de los números racionales, porque el polinomio no trivial
es cero cuando y .
Independencia algebraica de constantes conocidas
Aunque ambos y se sabe que e son trascendentales, no se sabe si el conjunto de ambos es algebraicamente independiente sobre. [1] De hecho, ni siquiera se sabe sies irracional. [2] Nesterenko demostró en 1996 que:
Teorema de Lindemann-Weierstrass
El teorema de Lindemann-Weierstrass se puede utilizar a menudo para demostrar que algunos conjuntos son algebraicamente independientes sobre. Dice que siempre queson números algebraicos que son linealmente independientes sobre, luego también son algebraicamente independientes sobre .
Matroides algebraicos
Dada una extensión de campo que no es algebraico, el lema de Zorn se puede usar para mostrar que siempre existe un subconjunto máximo algebraicamente independiente de encima . Además, todos los subconjuntos máximos algebraicamente independientes tienen la misma cardinalidad , conocida como el grado de trascendencia de la extensión.
Para cada set de elementos de , los subconjuntos algebraicamente independientes de satisfacen los axiomas que definen los conjuntos independientes de una matroide . En esta matroide, el rango de un conjunto de elementos es su grado de trascendencia, y el plano generado por un conjunto de elementos es la intersección de con el campo . Una matroide que se puede generar de esta manera se llama matroide algebraica . No se conoce una buena caracterización de las matroides algebraicas, pero se sabe que ciertas matroides no son algebraicas; el más pequeño es el matroide Vámos . [5]
Muchas matroides finitas pueden estar representadas por una matriz sobre un campo., en el que los elementos matroides corresponden a columnas de la matriz, y un conjunto de elementos es independiente si el conjunto de columnas correspondiente es linealmente independiente . Cada matroide con una representación lineal de este tipo también puede representarse como una matroide algebraica, eligiendo un indeterminado para cada fila de la matriz y usando los coeficientes de la matriz dentro de cada columna para asignar a cada elemento matroide una combinación lineal de estos trascendentales. Lo contrario es falso: no todas las matrices algebraicas tienen una representación lineal. [6]
Referencias
- ^ Patrick Morandi (1996). Campo y teoría de Galois . Saltador. pag. 174. ISBN 978-0-387-94753-2. Consultado el 11 de abril de 2008 .
- ^ Green, Ben (2008), "III.41 Números irracionales y trascendentales", en Gowers, Timothy (ed.), The Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press, p. 222
- ^ Manin, Yu. Yo ; Panchishkin, AA (2007). Introducción a la teoría de números moderna . Enciclopedia de Ciencias Matemáticas. 49 (Segunda ed.). pag. 61. ISBN 978-3-540-20364-3. ISSN 0938-0396 . Zbl 1079.11002 .
- ^ Nesterenko, Yuri V (1996). "Funciones modulares y problemas de trascendencia". Comptes Rendus de l'Académie des Sciences, Serie I . 322 (10): 909–914.
- ^ Ingleton, AW; Main, RA (1975), "Las matroides no algebraicas existen", Boletín de la Sociedad Matemática de Londres , 7 (2): 144-146, doi : 10.1112 / blms / 7.2.144 , MR 0369110.
- ^ Joshi, KD (1997), Estructuras discretas aplicadas , New Age International, p. 909, ISBN 9788122408263.
enlaces externos
- Chen, Johnny. "Algebraicamente Independiente" . MathWorld .