En matemáticas , la constante de Gauss , denotada por G , se define como el recíproco de la media aritmética-geométrica de 1 y la raíz cuadrada de 2 :
La constante lleva el nombre de Carl Friedrich Gauss , quien en 1799 [1] descubrió que
así que eso
donde Β denota la función beta .
La constante de Gauss puede usarse para expresar la función gamma en el argumento 1/4:
Alternativamente,
y dado que π y Γ ( 1/4) son algebraicamente independientes , la constante de Gauss es trascendental .
Constantes de lemniscata
La constante de Gauss se puede utilizar en la definición de las constantes de lemniscata, la primera de las cuales es:
y la segunda constante:
que surgen al encontrar la longitud del arco de una lemniscata . y Theodor Schneider demostró su trascendencia en 1937 y 1941, respectivamente. [2]
Una fórmula para G en términos de funciones theta de Jacobi viene dada por
así como la serie de rápida convergencia
La constante también está dada por el producto infinito
Aparece en la evaluación de las integrales
La constante de Gauss como fracción continua es [0, 1, 5, 21, 3, 4, 14, ...]. (secuencia A053002 en la OEIS )