En matemáticas , la topología de partición es una topología que puede ser inducido en cualquier conjunto X por la partición de X en subconjuntos disjuntos P ; estos subconjuntos forman la base de la topología. Hay dos ejemplos importantes que tienen sus propios nombres:
- La topología par-impar es la topología donde y
- La topología de enteros eliminados se define dejando y .
Las particiones triviales producen la topología discreta (cada punto de X es un conjunto en P ) o la topología indiscreta ().
Cualquier conjunto X con una topología de partición generada por una partición P puede verse como un espacio pseudométrico con una pseudométrica dada por:
Esta no es una métrica a menos que P produzca la topología discreta.
La topología de partición proporciona un ejemplo importante de la independencia de varios axiomas de separación . A menos que P sea trivial, al menos un conjunto en P contiene más de un punto, y los elementos de este conjunto son topológicamente indistinguibles : la topología no separa puntos. Por tanto, X no es un espacio de Kolmogorov , ni un espacio T 1 , un espacio de Hausdorff o un espacio de Urysohn . En una topología de partición, el complemento de cada conjunto abierto también está abierto y, por lo tanto, un conjunto está abierto si y solo si está cerrado. Por tanto, X es regular , completamente regular , normal y completamente normal . X / P es la topología discreta.
Referencias
- Steen, Lynn Arthur ; Seebach, J. Arthur Jr. (1995) [1978], Contraejemplos en topología ( reimpresión de Dover de 1978 ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-486-68735-3, MR 0507446