En la teoría de sistemas integrables , un peakon ("solitón pico") es un solitón con primera derivada discontinua ; el perfil de onda tiene la forma del gráfico de la función. Algunos ejemplos de ecuaciones diferenciales parciales no lineales con soluciones de (múltiples) picos son la ecuación de onda de aguas poco profundas Camassa-Holm , la ecuación de Degasperis-Procesi y la ecuación de Fornberg-Whitham . Dado que las soluciones de peakon solo son diferenciables por partes, deben interpretarse en un sentido débil adecuado . El concepto fue introducido en 1993 por Camassa y Holm en el artículo breve pero muy citado donde derivaron su ecuación de aguas poco profundas. [1]
Una familia de ecuaciones con soluciones de peakon
El ejemplo principal de un PDE que admite soluciones de peakon es
dónde es la función desconocida y b es un parámetro. [2] En cuanto a la función auxiliar definido por la relación , la ecuación toma la forma más simple
Esta ecuación es integrable para exactamente dos valores de b , a saber, b = 2 (la ecuación Camassa-Holm ) y b = 3 (la ecuación Degasperis-Procesi ).
La solución de pico único
El PDE anterior admite la solución de onda viajera , que es una onda solitaria puntiaguda con amplitud cy velocidad c . Esta solución se denomina solución de pico (único) o simplemente picoon . Si c es negativo, la onda se mueve hacia la izquierda con el pico apuntando hacia abajo, y luego a veces se le llama antipeakon .
No es inmediatamente obvio en qué sentido la solución de peakon satisface el PDE. Dado que la derivada u x tiene una discontinuidad de salto en el pico, la segunda derivada u xx debe tomarse en el sentido de distribuciones y contendrá una función delta de Dirac ; De hecho,. Ahora el productoque ocurre en la PDE parece no estar definida, ya que la distribución m se apoya en el mismo punto donde la derivada u x no está definida. Una interpretación ad hoc es tomar el valor de u x en ese punto para igualar el promedio de sus límites izquierdo y derecho (cero, en este caso). Una forma más satisfactoria de darle sentido a la solución es invertir la relación entre u y m escribiendo, dónde , y use esto para reescribir el PDE como una ley de conservación hiperbólica (no local) :
(La estrella denota convolución con respecto ax .) En esta formulación, la función u puede interpretarse simplemente como una solución débil en el sentido habitual. [3]
Soluciones multipeakon
![](http://wikiimg.tojsiabtv.com/wikipedia/commons/thumb/a/ac/Two-peakon.svg/400px-Two-peakon.svg.png)
Las soluciones de Multipeakon se forman tomando una combinación lineal de varios picos, cada uno con su propia amplitud y posición dependientes del tiempo. (Esta es una estructura muy simple en comparación con las soluciones multisolitones de la mayoría de las otras PDE integrables, como la ecuación de Korteweg-de Vries, por ejemplo.) La solución de n -peakon toma la forma
donde las 2 n funciones y debe elegirse adecuadamente para que u Para satisfacer la PDE. Para la " familia b " anterior resulta que este ansatz de hecho da una solución, siempre que el sistema de EDO
Está satisfecho. (Aquí sgn denota la función de signo ). Note que el lado derecho de la ecuación para se obtiene sustituyendo en la fórmula para u . De manera similar, la ecuación para se puede expresar en términos de , si uno interpreta la derivada de en x = 0 como cero. Esto proporciona la siguiente notación abreviada conveniente para el sistema:
La primera ecuación proporciona una intuición útil sobre la dinámica de los picos: la velocidad de cada pico es igual a la elevación de la onda en ese punto.
Fórmulas de solución explícitas
En los casos integrables b = 2 y b = 3, el sistema de EDO que describe la dinámica de los picos se puede resolver explícitamente para n arbitrarios en términos de funciones elementales, utilizando técnicas espectrales inversas. Por ejemplo, la solución para n = 3 en el caso Camassa – Holm b = 2 viene dada por [4]
dónde , y donde las 2 n constantes y se determinan a partir de las condiciones iniciales. La solución general para n arbitrario se puede expresar en términos de funciones simétricas de y . La solución general n -peakon en el caso Degasperis – Procesi b = 3 es similar en sabor, aunque la estructura detallada es más complicada. [5]
Notas
Referencias
- Beals, Richard; Sattinger, David H .; Szmigielski, Jacek (2000), "Multipeakons y el problema del momento clásico", Adv. Matemáticas. , 154 (2), págs. 229-257, arXiv : solv-int / 9906001 , doi : 10.1006 / aima.1999.1883
- Camassa, Roberto; Holm, Darryl D. (1993), "Una ecuación integrable de aguas poco profundas con solitones puntiagudos", Phys. Rev. Lett. , 71 (11), págs. 1661-1664, arXiv : patt-sol / 9305002 , Bibcode : 1993PhRvL..71.1661C , doi : 10.1103 / PhysRevLett.71.1661 , PMID 10054466
- Constantin, Adrian; McKean, Henry P. (1999), "Una ecuación de aguas poco profundas en el círculo", Commun. Pure Appl. Matemáticas. , 52 (8), págs. 949–982, doi : 10.1002 / (SICI) 1097-0312 (199908) 52: 8 <949 :: AID-CPA3> 3.0.CO; 2-D
- Degasperis, Antonio; Holm, Darryl D .; Hone, Andrew NW (2002), "Una nueva ecuación integrable con soluciones de pico", Física teórica y matemática , 133 (2), págs. 1463-1474, arXiv : nlin.SI/0205023 , doi : 10.1023 / A: 1021186408422
- Lundmark, Hans; Szmigielski, Jacek (2005), "Degasperis-Procesi peakons and the discrete cubic string", International Mathematics Research Papers , 2005 (2), pp. 53-116, arXiv : nlin.SI/0503036 , doi : 10.1155 / IMRP.2005.53