Mosaico de Penrose
Un mosaico de Penrose es un ejemplo de un mosaico aperiódico . Aquí, un mosaico es una cubierta del plano por polígonos que no se superponen u otras formas, y aperiódico significa que cambiar cualquier mosaico con estas formas por una distancia finita, sin rotación, no puede producir el mismo mosaico. Sin embargo, a pesar de su falta de simetría de traslación , las teselaciones de Penrose pueden tener tanto simetría de reflexión como simetría de rotación quíntuple . Los mosaicos de Penrose llevan el nombre del matemático y físico Roger Penrose , quien los investigó en la década de 1970.
Hay varias variaciones diferentes de mosaicos de Penrose con diferentes formas de mosaico. La forma original de mosaico de Penrose usaba mosaicos de cuatro formas diferentes, pero luego se redujo a solo dos formas: dos rombos diferentes o dos cuadriláteros diferentes llamados cometas y dardos. Los mosaicos de Penrose se obtienen restringiendo las formas en que estas formas pueden encajar entre sí. Esto se puede hacer de varias maneras diferentes, incluidas las reglas de combinación, las reglas de subdivisión finita o mosaico de sustitución , los esquemas de corte y proyección y las cubiertas. Incluso restringida de esta manera, cada variación produce infinitas teselaciones de Penrose diferentes.
Los mosaicos de Penrose son autosimilares : se pueden convertir en mosaicos de Penrose equivalentes con diferentes tamaños de mosaicos, utilizando procesos llamados inflación y deflación . El patrón representado por cada parche finito de mosaicos en un mosaico de Penrose ocurre infinitamente muchas veces a lo largo del mosaico. Son cuasicristales : implementados como una estructura física, un mosaico de Penrose producirá patrones de difracción con picos de Bragg y simetría quíntuple, revelando los patrones repetidos y las orientaciones fijas de sus mosaicos. [1] El estudio de estos mosaicos ha sido importante en la comprensión de los materiales físicos que también forman cuasicristales. [2] Los mosaicos de Penrose también se han aplicado en arquitectura y decoración, como en el mosaico del piso que se muestra.
Cubrir una superficie plana ("el plano") con algún patrón de formas geométricas ("mosaicos"), sin superposiciones ni espacios, se denomina mosaico . Los mosaicos más familiares, como cubrir un piso con cuadrados que se encuentran de borde a borde, son ejemplos de mosaicos periódicos . Si un mosaico cuadrado se desplaza por el ancho de un mosaico, paralelo a los lados del mosaico, el resultado es el mismo patrón de mosaicos que antes del cambio. Un desplazamiento (formalmente, una traslación ) que conserva el mosaico de esta manera se denomina período del mosaico. Una teselación se llama periódica cuando tiene periodos que desplazan la teselación en dos direcciones diferentes. [3]
Los mosaicos en el mosaico cuadrado tienen solo una forma, y es común que otros mosaicos tengan solo un número finito de formas. Estas formas se denominan prototiles , y se dice que un conjunto de prototiles admite un mosaico o mosaico del plano si hay un mosaico del plano que utiliza solo estas formas. Es decir, cada mosaico del mosaico debe ser congruente con uno de estos prototipos. [4]
Un mosaico que no tiene puntos no es periódico . Se dice que un conjunto de prototipos es aperiódico si todas sus teselaciones no son periódicas, y en este caso sus teselaciones también se denominan teselaciones aperiódicas . [5] Las teselaciones de Penrose se encuentran entre los ejemplos más simples conocidos de teselaciones aperiódicas del plano por conjuntos finitos de prototiles. [3]
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