Pentagramma mirificum (latín para pentagrama milagroso ) es un polígono estelar en una esfera , compuesto por cinco grandes arcos de círculo , todos cuyos ángulos internos son ángulos rectos . Esta forma fue descrito por John Napier en su 1614 libro Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ( Descripción de la Tabla Admirable de los logaritmos ) junto con reglas que enlazan los valores de funciones trigonométricas de cinco partes de un derecho triángulo esférico (dos ángulos y tres lados). Las propiedades depentagramma mirificum fueron estudiados, entre otros, por Carl Friedrich Gauss . [1]
Configuraciones de muestra de
pentagramma mirificumRelaciones entre los ángulos y los lados de cinco triángulos rectángulos adyacentes al pentágono interior. Su
círculos de Napier contienen
desplazamientos circulares de piezas
En una esfera, tanto los ángulos como los lados de un triángulo (arcos de grandes círculos) se miden como ángulos.
Hay cinco ángulos rectos, cada uno mide a , , , , y
Hay diez arcos, cada uno de los cuales mide , , , , , , , , , y
En el pentágono esférico , cada vértice es el polo del lado opuesto. Por ejemplo, apunte es el polo del ecuador , punto - el polo del ecuador etc.
En cada vértice del pentágono , el ángulo externo es igual en medida al lado opuesto. Por ejemplo, etc.
Círculos de triángulos esféricos de Napier, , , , y son rotaciones entre sí.
Gauss introdujo la notación
Se mantienen las siguientes identidades, lo que permite la determinación de tres de las cantidades anteriores a partir de las dos restantes: [2]
Gauss demostró la siguiente "hermosa igualdad" ( schöne Gleichung ): [2]
Se satisface, por ejemplo, con números. , cuyo producto es igual a .
Prueba de la primera parte de la igualdad:
Prueba de la segunda parte de la igualdad:
De Gauss viene también la fórmula [2]
dónde es el área del pentágono . La imagen del pentágono esférico en la proyección gnomónica (una proyección desde el centro de la esfera) sobre cualquier plano tangente a la esfera hay un pentágono rectilíneo. Sus cinco vértices determinar de forma inequívoca una sección cónica ; en este caso, una elipse . Gauss demostró que las altitudes del pentagrama (líneas que pasan por vértices y perpendiculares a lados opuestos) se cruzan en un punto , que es la imagen del punto de tangencia del plano a la esfera.
Arthur Cayley observó que, si establecemos el origen de un sistema de coordenadas cartesianas en el punto, luego las coordenadas de los vértices : satisfacer las igualdades , dónde es la longitud del radio de la esfera. [3]