Clasificación de Petrov
En geometría diferencial y física teórica , la clasificación de Petrov (también conocida como clasificación de Petrov-Pirani-Penrose) describe las posibles simetrías algebraicas del tensor de Weyl en cada evento en una variedad lorentziana .
Se aplica con mayor frecuencia en el estudio de soluciones exactas de las ecuaciones de campo de Einstein , pero estrictamente hablando, la clasificación es un teorema en matemáticas puras que se aplica a cualquier variedad lorentziana, independientemente de cualquier interpretación física. La clasificación fue encontrada en 1954 por AZ Petrov e independientemente por Felix Pirani en 1957.
Podemos pensar en un tensor de cuarto rango como el tensor de Weyl , evaluado en algún evento , actuando sobre el espacio de bivectores en ese evento como un operador lineal actuando sobre un espacio vectorial:
Entonces, es natural considerar el problema de encontrar valores propios y vectores propios (que ahora se denominan bivectores propios) tales que
En los espaciotiempos lorentzianos (cuatridimensionales), hay un espacio de seis dimensiones de bivectores antisimétricos en cada evento. Sin embargo, las simetrías del tensor de Weyl implican que cualquier bivector propio debe pertenecer a un subconjunto de cuatro dimensiones. Por lo tanto, el tensor de Weyl (en un evento dado) de hecho puede tener como máximo cuatro autobivectores linealmente independientes.
Al igual que en la teoría de los vectores propios de un operador lineal ordinario, los bivectores propios del tensor de Weyl pueden presentarse con varias multiplicidades . Al igual que en el caso de los operadores lineales ordinarios, cualquier multiplicidad entre los autobivectores indica una especie de simetría algebraica del tensor de Weyl en el evento dado. Tal como cabría esperar de la teoría de los valores propios de un operador lineal ordinario en un espacio vectorial de cuatro dimensiones, los diferentes tipos de tensor de Weyl (en un evento dado) se pueden determinar resolviendo una ecuación característica , en este caso una ecuación de cuarto grado . ecuación _
