Un modelo de campo de fase es un modelo matemático para resolver problemas interfaciales. Se ha aplicado principalmente a la dinámica de solidificación, [1] pero también se ha aplicado a otras situaciones como digitación viscosa , [2] mecánica de fracturas , [3] [4] [5] [6] fragilización por hidrógeno , [7] y dinámica de vesículas. [8]
El método sustituye las condiciones de contorno en la interfaz por una ecuación diferencial parcial para la evolución de un campo auxiliar (el campo de fase) que asume el papel de un parámetro de orden . Este campo de fase toma dos valores distintos (por ejemplo +1 y -1) en cada una de las fases, con un cambio suave entre ambos valores en la zona alrededor de la interfaz, que luego es difusa con un ancho finito. Una ubicación discreta de la interfaz se puede definir como la colección de todos los puntos donde el campo de fase toma un cierto valor (por ejemplo, 0).
Un modelo de campo de fase generalmente se construye de tal manera que en el límite de un ancho de interfaz infinitesimal (el llamado límite de interfaz aguda) se recupera la dinámica interfacial correcta. Este enfoque permite resolver el problema integrando un conjunto de ecuaciones diferenciales parciales para todo el sistema, evitando así el tratamiento explícito de las condiciones de contorno en la interfaz.
Los modelos de campo de fase fueron introducidos por primera vez por Fix [9] y Langer, [10] y han experimentado un creciente interés en la solidificación y otras áreas.
Ecuaciones del modelo de campo fase
Los modelos de campo de fase generalmente se construyen para reproducir una dinámica interfacial determinada. Por ejemplo, en los problemas de solidificación, la dinámica del frente viene dada por una ecuación de difusión para la concentración o la temperatura en la masa y algunas condiciones de frontera en la interfaz (una condición de equilibrio local y una ley de conservación), [11] que constituye el modelo de interfaz nítida. .
Varias formulaciones del modelo de campo de fase se basan en una función de energía libre que depende de un parámetro de orden (el campo de fase) y un campo difusivo (formulaciones variacionales). Las ecuaciones del modelo se obtienen utilizando relaciones generales de física estadística . Dicha función se construye a partir de consideraciones físicas, pero contiene un parámetro o una combinación de parámetros relacionados con el ancho de la interfaz. Los parámetros del modelo se eligen luego estudiando el límite del modelo con este ancho que va a cero, de tal manera que se pueda identificar este límite con el modelo de interfaz nítida pretendido.
Otras formulaciones comienzan escribiendo directamente las ecuaciones de campo de fase, sin hacer referencia a ningún funcional termodinámico (formulaciones no variacionales). En este caso, la única referencia es el modelo de interfaz nítida, en el sentido de que debe recuperarse al realizar el límite de ancho de interfaz pequeño del modelo de campo de fase.
Las ecuaciones de campo de fase en principio reproducen la dinámica interfacial cuando el ancho de la interfaz es pequeño en comparación con la escala de longitud más pequeña del problema. En solidificación, esta escala es la longitud capilar, que es una escala microscópica. Desde un punto de vista computacional, la integración de ecuaciones diferenciales parciales que resuelven una escala tan pequeña es prohibitiva. Sin embargo, Karma y Rappel introdujeron el límite de interfaz delgada, [12] que permitió relajar esta condición y abrió el camino a simulaciones cuantitativas prácticas con modelos de campo de fase. Con el creciente poder de las computadoras y el progreso teórico en el modelado de campo de fase, los modelos de campo de fase se han convertido en una herramienta útil para la simulación numérica de problemas interfaciales.
Formulaciones variacionales
Se puede construir un modelo para un campo de fase mediante argumentos físicos si se tiene una expresión explícita para la energía libre del sistema. Un ejemplo sencillo de problemas de solidificación es el siguiente:
dónde es el campo de fase, , es la entalpía local por unidad de volumen, es una cierta función polinomial de , y (dónde es el calor latente , es la temperatura de fusión, y es el calor específico). El término concorresponde a la energía interfacial. La función generalmente se toma como un potencial de doble pozo que describe la densidad de energía libre de la mayor parte de cada fase, que a su vez corresponden a los dos mínimos de la función . Las constantes y tienen respectivamente dimensiones de energía por unidad de longitud y energía por unidad de volumen. El ancho de la interfaz viene dado por. El modelo de campo de fase se puede obtener a partir de las siguientes relaciones variacionales: [13]
donde D es un coeficiente de difusión para la variable, y y son términos estocásticos que explican las fluctuaciones térmicas (y cuyas propiedades estadísticas se pueden obtener del teorema de disipación de fluctuaciones ). La primera ecuación da una ecuación para la evolución del campo de fase, mientras que la segunda es una ecuación de difusión, que generalmente se reescribe para la temperatura o para la concentración (en el caso de una aleación). Estas ecuaciones son, escalando el espacio con y tiempos con :
dónde es el ancho de la interfaz adimensional, , y , son ruidos no dimensionalizados.
Funciones alternativas de densidad de energía
La elección de la función de energía libre, , puede tener un efecto significativo en el comportamiento físico de la interfaz y debe seleccionarse con cuidado. La función de pozo doble representa una aproximación de la ecuación de estado de Van der Waals cerca del punto crítico, e históricamente se ha utilizado por su simplicidad de implementación cuando el modelo de campo de fase se emplea únicamente con fines de seguimiento de la interfaz. Pero esto ha llevado al fenómeno de contracción de la gota espontánea que se observa con frecuencia, por el cual la alta miscibilidad de fase predicha por una ecuación de estado cerca del punto crítico permite una interpenetración significativa de las fases y eventualmente puede conducir a la desaparición completa de una gota cuyo radio está por debajo de algunos límites. valor crítico. [14] Minimizar las pérdidas de continuidad percibidas durante la duración de una simulación requiere límites en el parámetro Mobility, lo que resulta en un delicado equilibrio entre la mancha interfacial debido a la convección, la reconstrucción interfacial debido a la minimización de la energía libre (es decir, la difusión basada en la movilidad) y la interpenetración de fase. , también dependiente de la movilidad. Una revisión reciente de las funciones de densidad de energía alternativas para aplicaciones de seguimiento de interfaces ha propuesto una forma modificada de la función de doble obstáculo que evita los fenómenos de contracción espontánea de la gota y los límites a la movilidad, [15] con resultados comparativos que proporcionan una serie de simulaciones de referencia utilizando el la función de doble pozo y la técnica de interfaz nítida de volumen de fluido . La implementación propuesta tiene una complejidad computacional solo ligeramente mayor que la de la función de pozo doble, y puede resultar útil para aplicaciones de seguimiento de interfaz del modelo de campo de fase donde la duración / naturaleza de los fenómenos simulados introduce problemas de continuidad de fase (es decir, pequeñas gotas , simulaciones extendidas, múltiples interfaces, etc.).
Límite agudo de la interfaz de las ecuaciones de campo de fase
Se puede construir un modelo de campo de fase para reproducir intencionalmente una dinámica interfacial determinada representada por un modelo de interfaz nítida. En tal caso, se debe realizar el límite agudo de la interfaz (es decir, el límite cuando el ancho de la interfaz llega a cero) del conjunto propuesto de ecuaciones de campo de fase. Este límite suele ser tomado por expansiones asintóticas de los campos del modelo en potencias del ancho de la interfaz.. Estas expansiones se realizan tanto en la región interfacial (expansión interna) como en la masa (expansión externa), y luego se emparejan asintóticamente orden por orden. El resultado arroja una ecuación diferencial parcial para el campo difusivo y una serie de condiciones de contorno en la interfaz, que deben corresponder al modelo de interfaz aguda y cuya comparación con él proporciona los valores de los parámetros del modelo de campo fase.
Mientras que tales expansiones se realizaron en los primeros modelos de campo de fase realizados hasta el orden inferior en solamente, los modelos más recientes usan asintóticos de orden superior (límites de interfaz delgada) para cancelar efectos espurios no deseados o para incluir nueva física en el modelo. Por ejemplo, esta técnica ha permitido cancelar efectos cinéticos, [12] para tratar casos con difusividades desiguales en las fases, [16] para modelar digitación viscosa [2] y flujos Navier-Stokes bifásicos, [17] para incluir fluctuaciones en el modelo, [18] etc.
Modelos de campo multifase
En los modelos de campos multifásicos, la microestructura se describe mediante un conjunto de parámetros de orden, cada uno de los cuales está relacionado con una fase específica u orientación cristalográfica. Este modelo se utiliza principalmente para transformaciones de fase de estado sólido donde evolucionan múltiples granos (por ejemplo , crecimiento de granos , recristalización o transformación de primer orden como austenita a ferrita en aleaciones ferrosas). Además de permitir la descripción de múltiples granos en una microestructura, los modelos de campo multifásico permiten especialmente la consideración de múltiples fases termodinámicas que ocurren, por ejemplo, en grados de aleación técnica. [19]
Modelos de campo de fase en gráficos
Muchos de los resultados de los modelos de campo de fase continuo tienen análogos discretos para los gráficos, simplemente reemplazando el cálculo por cálculo en los gráficos .
Modelado de campo de fase en mecánica de fracturas
La fractura en sólidos a menudo se analiza numéricamente dentro de un contexto de elementos finitos utilizando representaciones de grietas discretas o difusas. Los enfoques que utilizan una representación de elementos finitos a menudo hacen uso de discontinuidades fuertes incrustadas en el nivel intraelemento y, a menudo, requieren criterios adicionales basados en, por ejemplo, tensiones, densidades de energía de deformación o tasas de liberación de energía u otros tratamientos especiales como técnicas de cierre de grietas virtuales y remallado. para determinar las rutas de las grietas. Por el contrario, los enfoques que utilizan una representación de grietas difusas conservan la continuidad del campo de desplazamiento, como los modelos de daño continuo y las teorías de fractura de campo de fase. Este último se remonta a la reformulación del principio de Griffith en una forma variacional y tiene similitudes con los modelos de tipo de daño mejorados por gradiente. Quizás la característica más atractiva de los enfoques de campo de fase para la fractura es que la iniciación de la fisura y las trayectorias de la fisura se obtienen automáticamente de un problema de minimización que acopla las energías elástica y de fractura. Usando un método de campo de fase, la nucleación y el crecimiento de grietas ocurren en lugares con alta densidad de energía de deformación. [20]
Software
- PACE3D - Parallel Algorithms for Crystal Evolution en 3D es un paquete de simulación de campo de fase en paralelo que incluye transformaciones de múltiples componentes de múltiples fases, estructuras de grano a gran escala y acoplamiento con flujo de fluidos, interacciones elásticas, plásticas y magnéticas. Se desarrolla en la Universidad de Ciencias Aplicadas de Karlsruhe y en el Instituto de Tecnología de Karlsruhe.
- El Proyecto de simulación de microestructura de mesoescala (MMSP) es una colección de clases de C ++ para la simulación de microestructura basada en cuadrículas.
- El software de simulación de evolución MICRostructure (MICRESS) es un paquete de simulación de campo multifase y de componentes múltiples acoplado a bases de datos termodinámicas y cinéticas. Es desarrollado y mantenido por ACCESS eV.
- MOOSE marco de elementos finitos multifísico de código abierto masivamente paralelo en C ++ con soporte para simulaciones de campo de fase desarrolladas en el Laboratorio Nacional de Idaho.
- PhasePot es una herramienta de simulación de microestructura basada en Windows, que utiliza una combinación de modelos de campo de fase y Monte Carlo Potts.
- OpenPhase es un software de código abierto para la simulación de la formación de microestructuras en sistemas sometidos a transformación de fase de primer orden basado en el modelo de campo multifase.
- mef90 / vDef es un simulador de fractura de campo de fase variacional de código abierto basado en la teoría desarrollada en. [3] [4] [5]
Referencias
- ^ Boettinger, WJ; Warren, JA; Beckermann, C .; Karma, A. (2002). "Simulación de solidificación de campo de fase". Revisión anual de la investigación de materiales . 32 : 163-194. doi : 10.1146 / annurev.matsci.32.101901.155803 .
- ^ a b Folch, R .; Casademunt, J .; Hernández-Machado, A .; Ramírez-Piscina, L. (1999). "Modelo de campo de fase para flujos de Hele-Shaw con contraste de viscosidad arbitrario. II. Estudio numérico". Revisión E física . 60 (2): 1734–40. arXiv : cond-mat / 9903173 . Código Bibliográfico : 1999PhRvE..60.1734F . doi : 10.1103 / PhysRevE.60.1734 . PMID 11969955 . S2CID 8488585 .
- ^ a b Bourdin, B .; Francfort, GA; Marigo, JJ. (Abril de 2000). "Experimentos numéricos en fractura frágil revisitada". Revista de Mecánica y Física de Sólidos . 48 (4): 797–826. doi : 10.1016 / S0022-5096 (99) 00028-9 .
- ^ a b Bourdin, Blaise (2007). "Implementación numérica de la formulación variacional para fractura frágil cuasi-estática" . Interfaces y límites libres : 411–430. doi : 10.4171 / IFB / 171 . ISSN 1463-9963 .
- ^ a b Bourdin, Blaise; Francfort, Gilles A .; Marigo, Jean-Jacques (abril de 2008). "El enfoque variacional de la fractura". Revista de Elasticidad . 91 (1-3): 5-148. doi : 10.1007 / s10659-007-9107-3 . ISSN 0374-3535 . S2CID 120498253 .
- ^ Karma, Alain; Kessler, David; Levine, Herbert (2001). "Modelo de campo de fase de la fractura dinámica del modo III". Cartas de revisión física . 87 (4): 045501. arXiv : cond-mat / 0105034 . Código Bibliográfico : 2001PhRvL..87d5501K . doi : 10.1103 / PhysRevLett.87.045501 . PMID 11461627 . S2CID 42931658 .
- ^ Martínez-Paneda, Emilio; Golahmar, Alireza; Niordson, Christian (2018). "Una formulación de campo de fase para el craqueo asistido por hidrógeno". Métodos informáticos en mecánica e ingeniería aplicadas . 342 : 742–761. arXiv : 1808.03264 . doi : 10.1016 / j.cma.2018.07.021 . S2CID 52360579 .
- ^ Biben, Thierry; Kassner, Klaus; Misbah, Chaouqi (2005). "Enfoque de campo de fase a la dinámica de vesículas tridimensionales". Revisión E física . 72 (4): 041921. Código Bibliográfico : 2005PhRvE..72d1921B . doi : 10.1103 / PhysRevE.72.041921 . PMID 16383434 .
- ^ GJ Fix, en Problemas de límites libres: teoría y aplicaciones, Ed. A. Fasano y M. Primicerio, pág. 580, Pitman (Boston, 1983).
- ^ Langer, JS (1986). "Modelos de formación de patrones en transiciones de fase de primer orden". Direcciones en la física de la materia condensada . Direcciones en la física de la materia condensada. Serie: Serie sobre direcciones en física de la materia condensada . Serie sobre direcciones en física de la materia condensada. 1 . Singapur: World Scientific. págs. 165-186. Código Bibliográfico : 1986SDCMP ... 1..165L . doi : 10.1142 / 9789814415309_0005 . ISBN 978-9971-978-42-6.
- ^ Langer, JS (1980). "Inestabilidades y formación de patrones en el crecimiento de cristales". Reseñas de Física Moderna . 52 (1): 1–28. Código Bibliográfico : 1980RvMP ... 52 .... 1L . doi : 10.1103 / RevModPhys.52.1 .
- ^ a b Karma, Alain; Rappel, Wouter-Jan (1998). "Modelado cuantitativo de campo de fase del crecimiento dendrítico en dos y tres dimensiones". Revisión E física . 57 (4): 4323. Bibcode : 1998PhRvE..57.4323K . doi : 10.1103 / PhysRevE.57.4323 .
- ^ Hohenberg, P .; Halperin, B. (1977). "Teoría de los fenómenos críticos dinámicos". Reseñas de Física Moderna . 49 (3): 435. Código Bibliográfico : 1977RvMP ... 49..435H . doi : 10.1103 / RevModPhys.49.435 .
- ^ Yue, Pengtao; Zhou, Chunfeng; Feng, James J. (2007). "Contracción espontánea de gotas y conservación de masa en simulaciones de campo de fase". Revista de Física Computacional . 223 (1): 1–9. Código bibliográfico : 2007JCoPh.223 .... 1Y . CiteSeerX 10.1.1.583.2109 . doi : 10.1016 / j.jcp.2006.11.020 .
- ^ Donaldson, AA; Kirpalani, DM; MacChi, A. (2011). "Seguimiento de interfaz difusa de fluidos inmiscibles: mejora de la continuidad de fase a través de la selección de densidad de energía libre" . Revista Internacional de Flujo Multifásico . 37 (7): 777. doi : 10.1016 / j.ijmultiphaseflow.2011.02.002 .
- ^ McFadden, GB; Wheeler, AA; Anderson, DM (2000). "Asintóticos de interfaz delgada para un enfoque de energía / entropía para modelos de campo de fase con conductividades desiguales". Physica D: Fenómenos no lineales . 144 (1-2): 154-168. Código Bibliográfico : 2000PhyD..144..154M . doi : 10.1016 / S0167-2789 (00) 00064-6 . hdl : 2060/20000014455 .
- ^ Jacqmin, David (1999). "Cálculo de los flujos de Navier-Stokes de dos fases mediante el modelado de campo de fase". Revista de Física Computacional . 155 (1): 96-127. Código Bibliográfico : 1999JCoPh.155 ... 96J . doi : 10.1006 / jcph.1999.6332 .
- ^ Benítez, R .; Ramírez-Piscina, L. (2005). "Proyección de interfaz nítida de un modelo de campo de fase fluctuante". Revisión E física . 71 (6): 061603. arXiv : cond-mat / 0409707 . Código bibliográfico : 2005PhRvE..71f1603B . doi : 10.1103 / PhysRevE.71.061603 . PMID 16089744 . S2CID 28956874 .
- ^ Schmitz, GJ; Böttger, B .; Eiken, J .; Apel, M .; Viardin, A .; Carré, A .; Laschet, G. (2011). "Simulación basada en campo de fase de la evolución de la microestructura en grados técnicos de aleación". Revista Internacional de Avances en Ciencias de la Ingeniería y Matemáticas Aplicadas . 2 (4): 126. doi : 10.1007 / s12572-011-0026-y . S2CID 121915897 .
- ^ Miehe, C., Hofacker, M. y Welschinger, F. (2010). Un modelo de campo de fase para la propagación de grietas independiente de la velocidad: implementación algorítmica robusta basada en divisiones de operadores. Métodos informáticos en mecánica e ingeniería aplicadas, 199 (45-48), 2765-2778.
Otras lecturas
- Chen, Long-Qing (2002). "Modelos de campo de fase para la evolución de la microestructura". Revisión anual de la investigación de materiales . 32 : 113–140. doi : 10.1146 / annurev.matsci.32.112001.132041 .
- Moelans, Nele; Blanpain, Bart; Wollants, Patrick (2008). "Una introducción al modelado de campo de fase de la evolución de la microestructura". Calphad . 32 (2): 268. doi : 10.1016 / j.calphad.2007.11.003 .
- Steinbach, Ingo (2009). "Modelos de campo de fase en ciencia de materiales". Modelado y Simulación en Ciencia e Ingeniería de Materiales . 17 (7): 073001. Código Bibliográfico : 2009MSMSE..17g3001S . doi : 10.1088 / 0965-0393 / 17/7/073001 .
- Fries, Suzana G .; Boettger, Bernd; Eiken, Janin; Steinbach, Ingo (2009). "Actualización de CALPHAD a la simulación de microestructura: el método de campo de fase". Revista Internacional de Investigación de Materiales . 100 (2): 128. doi : 10,3139 / 146,110013 .
- Qin, RS; Bhadeshia, HK (2010). "Método de campo de fase" (PDF) . Ciencia y Tecnología de Materiales . 26 (7): 803. doi : 10.1179 / 174328409X453190 . S2CID 136124682 .
- Donaldson, AA; Kirpalani, DM; MacChi, A. (2011). "Seguimiento de interfaz difusa de fluidos inmiscibles: mejora de la continuidad de fase a través de la selección de densidad de energía libre" . Revista Internacional de Flujo Multifásico . 37 (7): 777. doi : 10.1016 / j.ijmultiphaseflow.2011.02.002 .
- González-Cinca, R .; Folch, R .; Benítez, R .; Ramírez-Piscina, L .; Casademunt, J .; Hernández-Machado, A. (2003). "Modelos de campo de fase en la formación de patrones interfaciales fuera de equilibrio". En Avances en materia condensada y mecánica estadística, Ed. Por E. Korutcheva y R. Cuerno, Nova Science Publishers (Nueva York), pág . 2004 : 203–236. arXiv : cond-mat / 0305058 . Código bibliográfico : 2003cond.mat..5058G . una revisión de los modelos de campo de fase.
- Provatas, Nikolas; Anciano, Ken (2010). Métodos de campo de fase en ciencia e ingeniería de materiales. Weinheim, Alemania: Wiley-VCH Verlag GmbH & Co. KGaA. doi : 10.1002 / 9783527631520 . ISBN 9783527631520
- Steinbach, I .: "Concepto de materia de campo de fase cuántica: gravedad emergente en el universo dinámico", Zeitschrift für Naturforschung A 72 1 (2017) doi : 10.1515 / zna-2016-0270
- Schmitz, GJ: "Un enfoque combinado de entropía / campo de fase para la gravedad", Entropy 2017 , 19 (4) 151; doi : 10.3390 / e19040151