Puerta lógica cuántica

En la computación cuántica y específicamente en el modelo de computación del circuito cuántico , una puerta lógica cuántica (o simplemente una puerta cuántica ) es un circuito cuántico básico que opera en una pequeña cantidad de qubits . Son los componentes básicos de los circuitos cuánticos, como lo son las puertas lógicas clásicas para los circuitos digitales convencionales.

A diferencia de muchas puertas lógicas clásicas, las puertas lógicas cuánticas son reversibles . Sin embargo, es posible realizar computación clásica usando solo puertas reversibles. Por ejemplo, la puerta Toffoli reversible puede implementar todas las funciones booleanas, a menudo a costa de tener que usar bits auxiliares . La puerta de Toffoli tiene un equivalente cuántico directo, lo que muestra que los circuitos cuánticos pueden realizar todas las operaciones realizadas por los circuitos clásicos.

Las puertas cuánticas son operadores unitarios y se describen como matrices unitarias en relación con alguna base . Usualmente usamos la base computacional , que a menos que la comparemos con algo, solo significa que para un sistema cuántico de nivel d (como un qubit , un registro cuántico o qutrits y qudits ^{[1] : 22-23} ) hemos etiquetado los vectores de base ortogonal , o use notación binaria .${\displaystyle |0\rangle ,|1\rangle ,\dots ,|d-1\rangle }$

La notación actual para puertas cuánticas fue desarrollada por muchos de los fundadores de la ciencia de la información cuántica, incluidos Adriano Barenco, Charles Bennett , Richard Cleve , David P. DiVincenzo , Norman Margolus , Peter Shor , Tycho Sleator , John A. Smolin y Harald Weinfurter. ^[3] basándose en la notación introducida por Richard Feynman . ^[2]

Las puertas lógicas cuánticas están representadas por matrices unitarias . Una puerta que actúa sobre qubits está representada por una matriz unitaria, y el conjunto de todas esas puertas con la operación de grupo de multiplicación de matrices ^[a] es el grupo de simetría U (2 ⁿ ) . Los estados cuánticos sobre los que actúan las puertas son vectores unitarios en dimensiones complejas , con la norma euclidiana compleja (la norma 2 ). ^{[4] : 66  [5] : 56, 65} Los vectores base (a veces llamados${\displaystyle n}$ ${\displaystyle 2^{n}\times 2^{n}}$ ${\displaystyle 2^{n}}$ eigenstates ) son los posibles resultados si se miden , y un estado cuántico es una combinación lineal de estos resultados. Las puertas cuánticas más comunes operan en espacios vectoriales de uno o dos qubits, al igual que las puertas lógicas clásicas comunesoperan en uno o dos bits .

Aunque las puertas de la lógica cuántica pertenecen a un grupo de simetría continua , el hardware real es inexacto y, por lo tanto, de precisión limitada. La aplicación de puertas generalmente introduce errores y las fidelidades de los estados cuánticos disminuyen con el tiempo. Si se utiliza la corrección de errores , las puertas utilizables se restringen aún más a un conjunto finito. ^{[4] : cap. 10  [1] : cap. 14} Más adelante en este artículo, esto a veces se ignora ya que el foco se encuentra en las propiedades matemáticas de las puertas cuánticas.

Puertas lógicas cuánticas comunes por nombre (incluida la abreviatura), forma (s) de circuito y las matrices unitarias correspondientes.

Un sumador cuántico completo , dado por Feynman en 1986. ^[2] Consta solo de puertas Toffoli y CNOT . La puerta que está rodeada por el cuadrado punteado en esta imagen se puede omitir si no se requiere un cálculo para restaurar la salida B.

Los estados de un solo qubit que no están entrelazados y carecen de fase global se pueden representar como puntos en la superficie de la esfera de Bloch , escritos como Las rotaciones sobre los ejes x, y, z de la esfera de Bloch están representadas por las puertas del operador de rotación .${\displaystyle |\psi \rangle =\cos \left(\theta /2\right)|0\rangle +e^{i\varphi }\sin \left(\theta /2\right)|1\rangle .}$

Diagrama de circuito cuántico de una puerta de raíz cuadrada de NOT

Diagrama de circuito de puertas Pauli controladas (de izquierda a derecha): CNOT (o controlada X ), controlada Y y controlada Z .

Representación del circuito de la puerta U controlada

Representación del circuito de la puerta Hadamard

Representación del circuito de la puerta SWAP

Representación del circuito de la puerta √ SWAP

Representación del circuito de la puerta Toffoli

Representación del circuito de la puerta Fredkin

Tanto CNOT como son puertas universales de dos qubit y pueden transformarse entre sí.${\displaystyle {\sqrt {\mbox{SWAP}}}}$

Dos puertas Y y X en serie. El orden en el que aparecen en el cable se invierte al multiplicarlos.

Dos puertas y en paralelo es equivalente a la puerta.${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y\otimes X}$

Ejemplo: La transformada de Hadamard en un registro de 3 qubit . ${\displaystyle |\psi \rangle }$

El ejemplo dado en el texto. La puerta de Hadamard solo actúa sobre 1 qubit, pero es un estado cuántico entrelazado que abarca 2 qubits. En nuestro ejemplo,${\displaystyle H}$${\displaystyle |\psi \rangle }$${\displaystyle |\psi \rangle ={\frac {|00\rangle +|11\rangle }{\sqrt {2}}}}$

Ejemplo: el inverso unitario del producto Hadamard-CNOT. Las tres puertas , y son sus propias inversas unitarias.${\displaystyle H}$ ${\displaystyle I}$${\displaystyle \mathrm {CNOT} }$

Representación de circuito de medida. Las dos líneas del lado derecho representan un bit clásico y la línea única del lado izquierdo representa un qubit.

Para un solo qubit, tenemos una esfera unitaria con el estado cuántico tal que . El estado se puede reescribir como , o y . Nota: es la probabilidad de medir y es la probabilidad de medir .${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$${\displaystyle a|0\rangle +b|1\rangle }$${\displaystyle |a|^{2}+|b|^{2}=1}$${\displaystyle |\cos \theta |^{2}+|\sin \theta |^{2}=1}$ ${\displaystyle |a|^{2}=\cos ^{2}\theta }$${\displaystyle |b|^{2}=\sin ^{2}\theta }$
${\displaystyle |a|^{2}}$${\displaystyle |0\rangle }$${\displaystyle |b|^{2}}$${\displaystyle |1\rangle }$

La puerta Hadamard - CNOT , que cuando se le da la entrada produce un estado de campana .${\displaystyle |00\rangle }$

El estado de Bell en el texto es dónde y . Por lo tanto, puede describirse mediante el plano complejo atravesado por los vectores básicos y , como en la imagen. La esfera unitaria ( pulg ) que representa el posible valor-espacio del sistema de 2 qubits se cruza con el plano y se encuentra en la superficie de las esferas unitarias. Porque , existe igual probabilidad de medir este estado a o , y porque hay cero probabilidad de medir a o .${\displaystyle |\Psi \rangle =a|00\rangle +b|01\rangle +c|10\rangle +d|11\rangle }$${\displaystyle a=d={\frac {1}{\sqrt {2}}}}$${\displaystyle b=c=0}$ ${\displaystyle |00\rangle }$${\displaystyle |11\rangle }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{4}}$${\displaystyle |\Psi \rangle }$${\displaystyle |a|^{2}=|d|^{2}=1/2}$${\displaystyle |00\rangle }$${\displaystyle |11\rangle }$${\displaystyle b=c=0}$${\displaystyle |01\rangle }$${\displaystyle |10\rangle }$

El efecto de una transformada unitaria F en un registro A que está en una superposición de estados y entrelazado por pares con el registro B. Aquí, n es 3 (cada registro tiene 3 qubits).${\displaystyle 2^{n}}$

El circuito generado, cuando . Los símbolos , y denotan XOR , AND y NOT respectivamente, y provienen de la representación booleana de Pauli- X con cero o más qubits de control cuando se aplica a estados que están en la base computacional.${\displaystyle x_{\text{length}}=4}$
${\displaystyle \oplus }$${\displaystyle \land }$${\displaystyle \neg }$