Línea Philo

En geometría , la línea Philo es un segmento de línea definido desde un ángulo y un punto dentro del ángulo como el segmento de línea más corto a través del punto que tiene sus extremos en los dos lados del ángulo. También conocida como la línea Philon , lleva el nombre de Filón de Bizancio , un escritor griego sobre dispositivos mecánicos, que vivió probablemente durante el siglo I o II a.C. Philo usó la línea para doblar el cubo ; ^{[1] [2]} porque no se puede duplicar el cubo mediante una construcción de regla y compás , ni tampoco se puede construir la línea Philo. ^{[1] [3]}

Caracterización geométrica

La línea filo de un punto P y un ángulo DOE , y la igualdad definitoria de distancias desde P y Q hasta los extremos de DE , donde Q es la base de una perpendicular desde el vértice del ángulo.

El punto de definición de una línea Philo, y la base de una perpendicular desde el vértice del ángulo a la línea, son equidistantes de los puntos finales de la línea. Es decir, suponga que el segmento es la línea Philo para el punto y el ángulo , y sea ​​la base de una línea perpendicular a . Entonces y . ^[1]${\displaystyle DE}$${\displaystyle P}$${\displaystyle DOE}$${\displaystyle Q}$ ${\displaystyle OQ}$${\displaystyle DE}$${\displaystyle DP=EQ}$${\displaystyle DQ=EP}$

Por el contrario, si y son dos puntos cualesquiera equidistantes de los extremos de un segmento de línea , y si hay algún punto en la línea que lo atraviesa que es perpendicular a , entonces es la línea de Philo para el ángulo y el punto . ^[1]${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle DE}$${\displaystyle O}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle DE}$${\displaystyle DE}$${\displaystyle DOE}$${\displaystyle P}$

Doblar el cubo

La línea de Philo se puede usar para duplicar el cubo , es decir, para construir una representación geométrica de la raíz cúbica de dos, y este fue el propósito de Philo al definir esta línea. Específicamente, sea ​​un rectángulo cuya relación de aspecto sea , como en la figura. Sea la línea de punto de Philo con respecto al ángulo recto . Defina punto como el punto de intersección de la línea y del círculo a través de puntos . Debido a que el triángulo está inscrito en el círculo con un diámetro, es un triángulo rectángulo y es la base de una perpendicular desde el vértice del ángulo hasta la línea de Philo.${\displaystyle PQRS}$ ${\displaystyle PQ:QR}$${\displaystyle 1:2}$${\displaystyle TU}$${\displaystyle P}$${\displaystyle QRS}$${\displaystyle V}$${\displaystyle TU}$${\displaystyle PQRS}$${\displaystyle RVP}$${\displaystyle RP}$${\displaystyle V}$

Sea el punto donde la línea cruza una línea perpendicular . Luego, las igualdades de los segmentos , y se derivan de la propiedad característica de la línea Philo. La similitud de los triángulos rectángulos , y sigue por la bisección perpendicular de los triángulos rectángulos. La combinación de estas igualdades y similitudes da la igualdad de proporciones o de manera más concisa . Dado que el primer y el último término de estas tres proporciones iguales están en la razón , las proporciones mismas deben ser todas , la proporción que se requiere para duplicar el cubo. ^[4]${\displaystyle W}$${\displaystyle QR}$${\displaystyle V}$${\displaystyle RS=PQ}$${\displaystyle RW=QU}$${\displaystyle WU=RQ}$${\displaystyle PQU}$${\displaystyle RWV}$${\displaystyle VWU}$${\displaystyle RS:RW=PQ:QU=RW:WV=WV:WU=WV:RQ}$${\displaystyle RS:RW=RW:WV=WV:RQ}$${\displaystyle 1:2}$${\displaystyle 1:{\sqrt[{3}]{2}}}$

Dado que es imposible doblar el cubo con una construcción de regla y compás , es igualmente imposible construir la línea Philo con estas herramientas. ^{[1] [3]}

Referencias

1. Eves, Howard (1965). Un estudio de geometría . 2 . Boston: Allyn y Bacon. págs. 39, 234-236.
2. Wells, David (1991). "Línea de Philo". El Diccionario Penguin de Geometría Curiosa e Interesante . Libros de pingüinos. págs. 182-183.
3. Kimberling, Clark (2003). Geometría en acción: un enfoque de descubrimiento utilizando el bloc de dibujo de Geometer . Emeryville, California: Key College Publishing. págs. 115-116. ISBN 1-931914-02-8.
4. Coxeter, HSM ; van de Craats, Jan (1993). "Líneas de Philon en planos no euclidianos". Revista de geometría . 48 (1–2): 26–55. doi : 10.1007 / BF01226799 . Señor 1242701 . 

Otras lecturas

• Neovius, Eduard (1888). "Ueber eine specielle geometrische Aufgabe des Minimums" . Mathematische Annalen . 31 (3): 359–362. doi : 10.1007 / BF01206220 .
• Neuberg, J. (1907). "Sur un mínimo". Mathesis : 68–69.
• Wetterling, WWE (1996). "La línea de Philon generalizada: un problema de optimización de la geometría" (PDF) . Revista de teoría y aplicaciones de la optimización . 90 (3): 517–521. doi : 10.1007 / BF02189793 . Señor  1402620 .

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Philo Line" . MathWorld .