En dinámica de fluidos , el análisis de redes de tuberías es el análisis del flujo de fluidos a través de una red hidráulica , que contiene varias o muchas ramas interconectadas. El objetivo es determinar los caudales y las caídas de presión en las distintas secciones de la red. Este es un problema común en el diseño hidráulico.
Descripción
Para dirigir el agua a muchos usuarios, los suministros de agua municipales a menudo la envían a través de una red de suministro de agua . La mayor parte de esta red estará formada por tuberías interconectadas. Esta red crea una clase especial de problemas en el diseño hidráulico, con métodos de solución que generalmente se denominan análisis de redes de tuberías . Las empresas de agua generalmente utilizan software especializado para resolver automáticamente estos problemas. Sin embargo, muchos de estos problemas también se pueden abordar con métodos más simples, como una hoja de cálculo equipada con un solucionador o una calculadora gráfica moderna.
Análisis determinista de redes
Una vez que se obtienen los factores de fricción de las tuberías (o se calculan a partir de las leyes de fricción de las tuberías, como la ecuación de Darcy-Weisbach ), podemos considerar cómo calcular las tasas de flujo y las pérdidas de carga en la red. Generalmente se ignoran las pérdidas de carga (diferencias de potencial) en cada nodo y se busca una solución para los flujos de estado estacionario en la red, teniendo en cuenta las especificaciones de la tubería (longitudes y diámetros), las propiedades de fricción de la tubería y los caudales o altura conocidos. pérdidas.
Los flujos de estado estacionario en la red deben satisfacer dos condiciones:
- En cualquier unión, el flujo total hacia una unión es igual al flujo total que sale de esa unión (ley de conservación de la masa, o ley de continuidad, o primera ley de Kirchhoff )
- Entre dos uniones cualesquiera, la pérdida de carga es independiente del camino tomado (ley de conservación de la energía o segunda ley de Kirchhoff). Esto es equivalente matemáticamente a la afirmación de que en cualquier circuito cerrado de la red, la pérdida de carga alrededor del circuito debe desaparecer.
Si hay suficientes caudales conocidos, de modo que el sistema de ecuaciones dado por (1) y (2) arriba sea cerrado (número de incógnitas = número de ecuaciones), entonces se puede obtener una solución determinista .
El enfoque clásico para resolver estas redes es utilizar el método Hardy Cross . En esta formulación, primero revisa y crea valores de conjetura para los flujos en la red. Los flujos se expresan mediante las tasas de flujo volumétrico Q. Las estimaciones iniciales para los valores de Q deben satisfacer las leyes de Kirchhoff (1). Es decir, si Q7 entra en una unión y Q6 y Q4 salen de la misma unión, entonces la estimación inicial debe satisfacer Q7 = Q6 + Q4. Una vez realizada la conjetura inicial, se considera un bucle para que podamos evaluar nuestra segunda condición. Dado un nodo inicial, trabajamos nuestro camino alrededor del bucle en el sentido de las agujas del reloj, como lo ilustra el bucle 1. Sumamos las pérdidas de carga de acuerdo con la ecuación de Darcy-Weisbach para cada tubería si Q está en la misma dirección que nuestro bucle como Q1, y reste la pérdida de carga si el flujo está en la dirección inversa, como Q4. En otras palabras, sumamos las pérdidas de carga alrededor del bucle en la dirección del bucle; dependiendo de si el flujo es a favor o en contra del bucle, algunas tuberías tendrán pérdidas de carga y otras tendrán ganancias de carga (pérdidas negativas).
Para satisfacer las segundas leyes de Kirchhoff (2), deberíamos terminar con 0 en cada ciclo en la solución de estado estacionario. Si la suma real de nuestra pérdida de carga no es igual a 0, entonces ajustaremos todos los flujos en el circuito por una cantidad dada por la siguiente fórmula, donde un ajuste positivo es en el sentido de las agujas del reloj.
dónde
- n es 1,85 para Hazen-Williams y
- n es 2 para Darcy-Weisbach.
El especificador en sentido horario (c) significa solo los flujos que se mueven en sentido horario en nuestro bucle, mientras que el especificador en sentido antihorario (cc) es solo los flujos que se mueven en sentido antihorario.
Este ajuste no resuelve el problema, ya que la mayoría de las redes tienen varios bucles. Sin embargo, está bien usar este ajuste, porque los cambios de flujo no alterarán la condición 1 y, por lo tanto, los otros bucles aún satisfacen la condición 1. Sin embargo, debemos usar los resultados del primer bucle antes de pasar a otros bucles.
Se necesita una adaptación de este método para tener en cuenta los depósitos de agua conectados a la red, que se unen en pares mediante el uso de 'pseudo-bucles' en el esquema de Hardy Cross. Esto se analiza más detalladamente en el sitio del método Hardy Cross .
El método moderno es simplemente crear un conjunto de condiciones a partir de las leyes de Kirchhoff anteriores (cruces y criterios de pérdida de carga). Luego, use un algoritmo de búsqueda de raíces para encontrar valores de Q que satisfagan todas las ecuaciones. Las ecuaciones de pérdida por fricción literal usan un término llamado Q 2 , pero queremos preservar cualquier cambio de dirección. Cree una ecuación separada para cada bucle donde se sumen las pérdidas de carga, pero en lugar de elevar al cuadrado Q , use | Q | · Q en su lugar (con | Q | el valor absoluto de Q ) para la formulación, de modo que cualquier cambio de signo se refleje adecuadamente en el cálculo de pérdida de carga resultante.
Análisis probabilístico de redes
En muchas situaciones, especialmente para redes de distribución de agua reales en ciudades (que pueden extenderse entre miles y millones de nodos), el número de variables conocidas (caudales y / o pérdidas de carga) necesarias para obtener una solución determinista será muy grande. Muchas de estas variables no se conocerán o implicarán una considerable incertidumbre en su especificación. Además, en muchas redes de tuberías, puede haber una variabilidad considerable en los flujos, que puede describirse mediante fluctuaciones sobre los caudales medios en cada tubería. Los métodos deterministas anteriores no pueden dar cuenta de estas incertidumbres, ya sea por falta de conocimiento o por la variabilidad del flujo.
Por estas razones, recientemente se ha desarrollado un método probabilístico para el análisis de redes de tuberías, [1] basado en el método de máxima entropía de Jaynes. [2] En este método, se define una función de entropía relativa continua sobre los parámetros desconocidos. Esta entropía se maximiza luego sujeta a las restricciones del sistema, incluidas las leyes de Kirchhoff, las propiedades de fricción de la tubería y cualquier caudal medio o pérdida de carga especificada, para dar una declaración probabilística ( función de densidad de probabilidad ) que describe el sistema. Esto se puede utilizar para calcular valores medios (expectativas) de los caudales, pérdidas de carga o cualquier otra variable de interés en la red de tuberías. Este análisis se ha ampliado utilizando una formulación entrópica de parámetros reducidos, que asegura la coherencia del análisis independientemente de la representación gráfica de la red. [3] También se ha presentado una comparación de formulaciones probabilísticas bayesianas y de máxima entropía para el análisis de redes de flujo de tuberías, mostrando que bajo ciertos supuestos (a priori gaussianos), los dos enfoques conducen a predicciones equivalentes de tasas de flujo medias. [4]
Otros métodos de optimización estocástica de los sistemas de distribución de agua se basan en algoritmos metaheurísticos , como el recocido simulado [5] y los algoritmos genéticos . [6]
Ver también
Referencias
- ^ SH Waldrip, RK Niven, M. Abel, M. Schlegel (2016), Análisis de entropía máxima de redes de flujo de tuberías hidráulicas, J. Hydraulic Eng ASCE , 142 (9): 04016028, https://dx.doi.org/ 10.1061 / (ASCE) HY.1943-7900.0001126 # sthash.5ecR2Gts.dpuf
- ^ Jaynes, ET (2003). Teoría de la probabilidad: la lógica de la ciencia . Prensa de la Universidad de Cambridge.
- ^ Waldrip, SH, Niven, RK, Abel, M., Schlegel, M. (2017), Método de parámetro reducido para el análisis de máxima entropía de redes de flujo de tuberías hidráulicas, J. Hydraulic Eng ASCE, en prensa
- ^ Waldrip, SH, Niven, RK (2017), Comparación entre análisis de entropía máxima y bayesiana de redes de flujo, Entropy, 19 (2): 58, https://dx.doi.org/10.3390/e19020058
- ^ Cunha, Maria da Conceio; Sousa, Joaquim (1999). "Optimización del diseño de la red de distribución de agua: enfoque de recocido simulado" . Revista de Planificación y Gestión de Recursos Hídricos . doi : 10.1061 / (asce) 0733-9496 (1999) 125: 4 (215) . ISSN 0733-9496 .
- ^ Montesinos, Pilar; García-Guzmán, Adela; Ayuso, José Luis (1999). "Optimización de la red de distribución de agua mediante un algoritmo genético modificado" . Investigación de recursos hídricos . 35 (11): 3467–3473. doi : 10.1029 / 1999WR900167 . ISSN 1944-7973 .
Otras lecturas
- N. Hwang, R. Houghtalen, "Fundamentos de los sistemas de ingeniería hidráulica" Prentice Hall, Upper Saddle River, Nueva Jersey. 1996.
- LF Moody, "Factores de fricción para el flujo de la tubería", Trans. ASME, vol. 66, 1944.
- CF Colebrook, "Flujo turbulento en tuberías, con especial referencia a la región de transición entre las leyes de tuberías lisas y rugosas", Jour. Ist. Civil Engrs., Londres (febrero de 1939).
- Eusuff, Muzaffar M .; Lansey, Kevin E. (2003). "Optimización del diseño de la red de distribución de agua mediante el algoritmo de salto de rana barajada" . Revista de Planificación y Gestión de Recursos Hídricos . 129 (3): 210-225.