Álgebra plana

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En matemáticas , las álgebras planas aparecieron por primera vez en el trabajo de Vaughan Jones sobre el invariante estándar de un subfactor II ₁ .^[1] También proporcionan un marco algebraico apropiado para muchas invariantes de nudos (en particular, el polinomio de Jones ), y se han utilizado para describir las propiedades de la homología de Khovanov con respecto a la composición de enredos . ^{[2] [3]} Cualquier álgebra plana subfactorial proporciona una familia de representaciones unitarias de grupos de Thompson .^[4]Cualquier grupo finito (y generalización cuántica) puede codificarse como un álgebra plana. ^[1]

La idea del álgebra plana es ser una axiomatización esquemática del invariante estándar .^{[1] [5] [6]}

Una maraña plana (sombreada) son los datos de un número finito de discos de entrada , un disco de salida , cadenas que no se cruzan dando un número par, por ejemplo , intervalos por disco y un intervalo marcado por disco. ${\ estilo de visualización 2n}$${\ estilo de visualización \ estrella}$

Aquí, la marca se muestra como una forma. En cada disco de entrada se coloca entre dos cadenas salientes adyacentes y en el disco de salida se coloca entre dos cadenas entrantes adyacentes. Una maraña plana se define hasta la isotopía .${\ estilo de visualización \ estrella}$

Para componer dos marañas planas, ponga el disco de salida de uno en una entrada del otro, que tenga tantos intervalos, el mismo sombreado de los intervalos marcados y tal que los intervalos marcados coincidan. Por último eliminamos los círculos coincidentes. Tenga en cuenta que dos enredos planos pueden tener cero, una o varias composiciones posibles.${\ estilo de visualización \ estrella}$

Un álgebra plana es una representación de la operada plana; más precisamente, es una familia de espacios vectoriales , llamados espacios de caja, sobre los que actúa la operada planar, es decir, para cualquier enredo (con un disco de salida y discos de entrada con intervalos y respectivamente) hay un mapa multilineal${\displaystyle ({\mathcal {P}}_{n,\pm })_{n\en \mathbb {N} }}$${\ estilo de visualización n}$${\ estilo de visualización T}$${\ estilo de visualización r}$${\ estilo de visualización 2n_ {0}}$${\displaystyle 2n_{1},\puntos,2n_{r}}$

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