En matemáticas , un enredo es generalmente uno de dos conceptos relacionados:
- En la definición de John Conway , un n -tangle es una incrustación apropiada de la unión disjunta de n arcos en una 3-ball ; la incrustación debe enviar los puntos finales de los arcos a 2 n puntos marcados en el límite de la bola.
- En la teoría de enlaces , una maraña es una incrustación de n arcos ym círculos en - la diferencia con la definición anterior es que incluye círculos y arcos, y divide el límite en dos piezas (isomórficas), lo cual es algebraicamente más conveniente - permite agregar enredos apilándolos, por ejemplo.
(Un uso bastante diferente de 'enredo' aparece en Graph menores X. Obstrucciones a la descomposición de árboles por N. Robertson y PD Seymour, Journal of Combinatorial Theory B 59 (1991) 153-190, quienes lo usaron para describir la separación en gráficos. Este uso se ha extendido a las matroides ).
El resto de este artículo analiza el sentido de los enredos de Conway; para el sentido de la teoría de enlaces, consulte ese artículo.
Dos n- ángulos se consideran equivalentes si hay una isotopía ambiental de una maraña con la otra manteniendo fijo el límite de la bola 3. La teoría de enredos puede considerarse análoga a la teoría de nudos, excepto que en lugar de bucles cerrados utilizamos cuerdas cuyos extremos están clavados. Ver también teoría de la trenza .
Diagramas de enredos
Sin perder la generalidad, considere que los puntos marcados en el límite de 3 bolas se encuentran en un círculo máximo. La maraña puede disponerse para que esté en posición general con respecto a la proyección sobre el disco plano delimitado por el gran círculo. Luego, la proyección nos da un diagrama de enredos , donde tomamos nota de los cruces superiores e inferiores como con los diagramas de nudos .
Los enredos a menudo se muestran como diagramas de enredos en diagramas de nudos o enlaces y se pueden utilizar como bloques de construcción para diagramas de enlaces , por ejemplo, enlaces pretzel .
Enredos racionales y algebraicos
Un enredo racional es un enredo de 2 que es homeomórfico al enredo trivial de 2 por un mapa de pares que consta de la bola 3 y dos arcos. Los cuatro puntos finales de los arcos en el círculo límite de un diagrama de enredos generalmente se denominan NE, NW, SW, SE, y los símbolos se refieren a las direcciones de la brújula.
Un diagrama de maraña arbitrario de una maraña racional puede parecer muy complicado, pero siempre hay un diagrama de una forma simple particular: comience con un diagrama de maraña que consta de dos arcos horizontales (verticales); añadir un "giro", es decir, un solo cruce cambiando los puntos finales NE y SE (puntos finales SW y SE); continúe agregando más giros utilizando los puntos finales NE y SE o los puntos finales SW y SE. Se puede suponer que cada giro no cambia el diagrama dentro de un disco que contiene cruces creados previamente.
Podemos describir un diagrama de este tipo considerando los números dados por giros consecutivos alrededor del mismo conjunto de puntos finales, por ejemplo, (2, 1, -3) significa comenzar con dos arcos horizontales, luego 2 giros usando puntos finales NE / SE, luego 1 giro usando Puntos finales SW / SE, y luego 3 giros usando puntos finales NE / SE pero girando en la dirección opuesta a la anterior. La lista comienza con 0 si comienza con dos arcos verticales. El diagrama con dos arcos horizontales es entonces (0), pero asignamos (0, 0) al diagrama con arcos verticales. Se necesita una convención para describir un giro "positivo" o "negativo". A menudo, "maraña racional" se refiere a una lista de números que representan un diagrama simple como se describe.
La fracción de una maraña racional entonces se define como el número dado por la fracción continua . La fracción dada por (0,0) se define como. Conway demostró que la fracción está bien definida y determina completamente el enredo racional hasta la equivalencia del enredo. [1] Una prueba accesible de este hecho se da en :. [2] Conway también definió una fracción de una maraña arbitraria utilizando el polinomio de Alexander .
Operaciones sobre enredos
Hay una "aritmética" de enredos con operaciones de suma, multiplicación y reciprocidad. Una maraña algebraica se obtiene de la suma y multiplicación de marañas racionales.
El cierre del numerador de una maraña racional se define como el vínculo obtenido al unir los puntos finales "norte" y los puntos finales "sur" también juntos. El cierre del denominador se define de manera similar agrupando los extremos "este" y "oeste". Los vínculos racionales se definen como cierres de enredos racionales.
Notación de Conway
Una motivación para el estudio de los nudos de Conway fue proporcionar una notación para los nudos más sistemática que la enumeración tradicional que se encuentra en las tablas.
Aplicaciones
Se ha demostrado que los enredos son útiles para estudiar la topología del ADN . La acción de una enzima determinada se puede analizar con la ayuda de la teoría de enredos. [3]
Ver también
Referencias
- ^ Conway, JH (1970). "Una enumeración de nudos y enlaces, y algunas de sus propiedades algebraicas" (PDF) . En Leech, J. (ed.). Problemas computacionales en álgebra abstracta . Oxford, Inglaterra: Pergamon Press. págs. 329–358.
- ^ Kauffman, Louis H .; Lambropoulou, Sofia (12 de enero de 2004). "Sobre la clasificación de los ovillos racionales" . Avances en Matemática Aplicada . 33 (2): 199–237. arXiv : matemáticas / 0311499 . Bibcode : 2003math ..... 11499K .
- ^ Ernst, C .; Sumners, DW (noviembre de 1990). "Un cálculo para ovillos racionales: aplicaciones a la recombinación de ADN". Procedimientos matemáticos de la Sociedad Filosófica de Cambridge . 108 (3): 489–515. Código Bibliográfico : 1990MPCPS.108..489E . doi : 10.1017 / s0305004100069383 . ISSN 0305-0041 .
Otras lecturas
- Adams, CC (2004). The Knot Book: una introducción elemental a la teoría matemática de los nudos . Providence, RI: Sociedad Matemática Estadounidense. págs. xiv + 307. ISBN 0-8218-3678-1.
enlaces externos
- MacKay, David . "Código de metapost para dibujar enredos y otras imágenes" . Grupo de inferencia . Consultado el 13 de abril de 2018 .
- Goldman, Jay R .; Kauffman, Louis H. (1997). "Enredos racionales" (PDF) . Avances en Matemática Aplicada . 18 (3): 300–332. doi : 10.1006 / aama.1996.0511 .