La plasticidad de flujo es una teoría de la mecánica sólida que se utiliza para describir el comportamiento plástico de los materiales. [1] Las teorías de la plasticidad del flujo se caracterizan por el supuesto de que existe una regla de flujo que se puede utilizar para determinar la cantidad de deformación plástica en el material.
En las teorías de la plasticidad del flujo se asume que la deformación total en un cuerpo se puede descomponer de forma aditiva (o multiplicativa) en una parte elástica y una parte plástica. La parte elástica de la deformación se puede calcular a partir de un modelo constitutivo elástico lineal o hiperelástico . Sin embargo, la determinación de la parte plástica de la deformación requiere una regla de flujo y un modelo de endurecimiento .
Teoría de la pequeña deformación
Las teorías típicas de plasticidad de flujo para cargas unidireccionales (para pequeñas deformaciones, plasticidad perfecta o plasticidad de endurecimiento) se desarrollan sobre la base de los siguientes requisitos:
- El material tiene un rango elástico lineal.
- El material tiene un límite elástico definido como la tensión a la que se produce la deformación plástica por primera vez, es decir, .
- Más allá del límite elástico, el estado de tensión siempre permanece en la superficie de fluencia, es decir, .
- La carga se define como la situación en la que los incrementos de tensión son mayores que cero, es decir, . Si la carga lleva el estado de tensión al dominio plástico, entonces el incremento de la deformación plástica es siempre mayor que cero, es decir,.
- La descarga se define como la situación en la que los incrementos de tensión son menores que cero, es decir, . El material es elástico durante la descarga y no se acumula tensión plástica adicional.
- La deformación total es una combinación lineal de las partes elásticas y plásticas, es decir, . La parte de plástico no se puede recuperar mientras la parte elástica sea completamente recuperable.
- El trabajo realizado de un ciclo de carga-descarga es positivo o nulo, es decir, . Esto también se denomina postulado de estabilidad de Drucker y elimina la posibilidad de un comportamiento de ablandamiento por deformación.
Los requisitos anteriores se pueden expresar en estados tridimensionales de tensión y carga multidireccional de la siguiente manera.
- Elasticidad ( ley de Hooke ). En el régimen elástico lineal, las tensiones y deformaciones en el material están relacionadas por
- donde la matriz de rigidez es constante.
- Límite elástico ( superficie de rendimiento ). El límite elástico está definido por una superficie de fluencia que no depende de la deformación plástica y tiene la forma
- Más allá del límite elástico . Para los materiales de endurecimiento por deformación, la superficie de fluencia evoluciona con el aumento de la deformación plástica y el límite elástico cambia. La superficie de rendimiento en evolución tiene la forma
- Cargando . Para estados generales de tensión, la carga plástica se indica si el estado de tensión está en la superficie de fluencia y el incremento de tensión se dirige hacia el exterior de la superficie de fluencia; esto ocurre si el producto interno del incremento de la tensión y la normal externa de la superficie de fluencia es positivo, es decir,
- La ecuación anterior, cuando es igual a cero, indica un estado de carga neutra donde el estado de tensión se mueve a lo largo de la superficie de fluencia.
- Descarga : se hace un argumento similar para la descarga para qué situación, el material está en el dominio elástico, y
- Descomposición de la deformación : la descomposición aditiva de la deformación en partes elásticas y plásticas se puede escribir como
- Postulado de estabilidad : El postulado de estabilidad se expresa como
Regla de flujo
En plasticidad metálica, la suposición de que el incremento de la deformación plástica y el tensor de tensión desviador tienen las mismas direcciones principales se encapsula en una relación llamada regla de flujo . Las teorías de la plasticidad de las rocas también utilizan un concepto similar, excepto que el requisito de dependencia de la presión de la superficie de fluencia requiere una relajación del supuesto anterior. En cambio, se asume típicamente que el incremento de deformación plástica y la normal a la superficie de fluencia dependiente de la presión tienen la misma dirección, es decir,
dónde es un parámetro de endurecimiento. Esta forma de la regla de flujo se denomina regla de flujo asociada y el supuesto de codireccionalidad se denomina condición de normalidad . La funcióntambién se llama potencial plástico .
La regla de flujo anterior se justifica fácilmente para deformaciones perfectamente plásticas para las cuales Cuándo , es decir, la superficie de fluencia permanece constante bajo una deformación plástica creciente. Esto implica que el incremento de deformación elástica también es cero,, debido a la ley de Hooke. Por lo tanto,
Por tanto, tanto la normal a la superficie de fluencia como el tensor de deformación plástico son perpendiculares al tensor de tensión y deben tener la misma dirección.
Para un material de endurecimiento por trabajo , la superficie de fluencia puede expandirse al aumentar la tensión. Asumimos el segundo postulado de estabilidad de Drucker que establece que para un ciclo de tensión infinitesimal este trabajo plástico es positivo, es decir,
La cantidad anterior es igual a cero para ciclos puramente elásticos. El examen del trabajo realizado durante un ciclo de carga y descarga de plástico se puede utilizar para justificar la validez de la regla de flujo asociada. [2]
Condición de consistencia
La condición de consistencia de Prager es necesaria para cerrar el conjunto de ecuaciones constitutivas y eliminar el parámetro desconocido.del sistema de ecuaciones. La condición de consistencia establece que en el rendimiento porque , y por lo tanto
Teoría de la gran deformación
Las teorías de plasticidad del flujo de grandes deformaciones suelen comenzar con uno de los siguientes supuestos:
- el tensor de la tasa de deformación se puede descomponer aditivamente en una parte elástica y una parte plástica, o
- el tensor del gradiente de deformación se puede descomponer multiplicativamente en una parte elástica y una parte plástica.
El primer supuesto fue ampliamente utilizado para simulaciones numéricas de metales, pero ha sido reemplazado gradualmente por la teoría multiplicativa.
Cinemática de plasticidad multiplicativa
El concepto de descomposición multiplicativa del gradiente de deformación en partes elásticas y plásticas fue propuesto por primera vez de forma independiente por BA Bilby, [3] E. Kröner, [4] en el contexto de la plasticidad cristalina y ampliado a la plasticidad continua por Erasmus Lee. [5] La descomposición asume que el gradiente de deformación total ( F ) se puede descomponer como:
donde F e es la parte elástica (recuperable) y F p es la parte plástica (irrecuperable) de la deformación. El gradiente de velocidad espacial está dado por
donde un punto superpuesto indica una derivada de tiempo. Podemos escribir lo anterior como
La cantidad
se denomina gradiente de velocidad plástico y se define en una configuración intermedia ( incompatible ) libre de tensiones. La parte simétrica ( D p ) de L p se llama velocidad plástica de deformación, mientras que la parte simétrica sesgada ( W p ) se llama espín plástico :
Normalmente, el giro plástico se ignora en la mayoría de las descripciones de plasticidad finita.
Régimen elástico
El comportamiento elástico en el régimen de deformación finita se describe típicamente mediante un modelo de material hiperelástico . La deformación elástica se puede medir utilizando un tensor de deformación de Cauchy-Green derecho elástico definido como:
El tensor de deformación logarítmico o de Hencky puede definirse como
El tensor de tensión de Mandel simétrizado es una medida de tensión conveniente para la plasticidad finita y se define como
donde S es el segundo estrés de Piola-Kirchhoff . Un posible modelo hiperelástico en términos de deformación logarítmica es [6]
donde W es una función de densidad de energía de deformación, J = det ( F ), μ es un módulo y "dev" indica la parte desviadora de un tensor.
Regla de flujo
La aplicación de la desigualdad de Clausius-Duhem conduce, en ausencia de un espín plástico, a la regla de flujo de deformación finita
Condiciones de carga y descarga
Se puede demostrar que las condiciones de carga y descarga son equivalentes a las condiciones de Karush-Kuhn-Tucker
Condición de consistencia
La condición de consistencia es idéntica a la del caso de deformación pequeña,
Referencias
- ^ Lubliner, Jacob (2008), Teoría de la plasticidad , Publicaciones de Courier Dover.
- ^ Anandarajah (2010).
- ^ Bilby, BA; Bullough, R .; Smith, E. (1955), "Distribuciones continuas de dislocaciones: una nueva aplicación de los métodos de geometría no riemanniana", Proceedings of the Royal Society A , 231 (1185): 263-273, Bibcode : 1955RSPSA.231 .. 263B , doi : 10.1098 / rspa.1955.0171
- ^ Kröner, E. (1958), "Kontinuumstheorie der Versetzungen und Eigenspannungen", Erg. Angew. Matemáticas. , 5 : 1–179
- ^ Lee, EH (1969), "Deformación elástica-plástica en deformaciones finitas" (PDF) , Journal of Applied Mechanics , 36 (1): 1–6, Bibcode : 1969JAM .... 36 .... 1L , doi : 10.1115 / 1.3564580[ enlace muerto permanente ]
- ^ Anand, L. (1979), "Sobre la función de energía de deformación aproximada de H. Hencky para deformaciones moderadas", Journal of Applied Mechanics , 46 (1): 78-82, Bibcode : 1979JAM .... 46 ... 78A , doi : 10.1115 / 1.3424532